Notion de différentielle.

[invite38d9e885]

Salut la communauté.

J'ai vu les différentielles très rapidement je passe un concours de Médecine (PACES) alors on n'a qu'un peu de maths ça change du lycée. Et la notion de différentielle est peut être mal comprise dans mon cas j'ai l'impression regardez comment je le vois :

dF= (delta F/delta X)dx + (delta F/delta y)dy.

Voici la différentiel en l'occurence d'une fonction d'état à deux variable noté x et y.

Voici ce que je comprends : La variation de F vaut (la variation de F1 + un nombre infiniment petit) + (la variation de F2 + un nombre infiniment petit).
On peut noter ce nombre tel que h tend vers 0. Ainsi je le néglige pour dire que la variation de F vaut presque la variation de F1 + celle de F2. F environ= F1 +F2. Or d'après mon cours la variation de F vaut F2-F1.

Il y a une erreur qu'en pensez vous ? Bonne journée !
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[gg0]

Bonjour.

Sans ton support de cours pour comprendre de quoi tu parles, c'est incompréhensible. par exemple, c'est quoi F1 ?
La différentielle est définie à partir de dérivées partielles. Est-ce ce que tu as voulu écrire ?

"La variation de F vaut (la variation de F1 + un nombre infiniment petit) + (la variation de F2 + un nombre infiniment petit). " ?? Incompréhensible pour moi.

Enfin, il ne faut pas confondre la différentielle et les formules approchées du genre :


Cordialement.

[invite38d9e885]

Bonjour gg0.

Désolé je n'ai pas pensé à vous donner mon support de cours, je vais rectifier cela tout de suite.
Le voici (ma question reste la même bien entendu ^^).

[gg0]

Pour l'instant, ta pièce jointe n'est pas lisible, en attendant qu'un administrateur la valide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite38d9e885]

En attendant la validation de l'image par les administrateurs, je vais tenter de répondre aux questions, ce sera un début.

Il s'agit d'une approche mathématiques de fonction d'état à deux variable indépendante x et y.

"La variation de F vaut (la variation de F1 + un nombre infiniment petit) + (la variation de F2 + un nombre infiniment petit). " ?? Incompréhensible pour moi.
Il s'agit à mon sens de la définition d'une différentielle dy : L'accroissement infiniment petit acquis par y tant dis que x s'accroit d'une quantité infiniment petite dx.
C'est dans ce sens que je les néglige ensuite pour arriver à l'absurdité cité.

Qu'en pensez vous ?

[gg0]

Bonjour.

Dans ton texte (maintenant lisible), il s'agit bien de dérivées partielles. La variation locale de F, lors d'une variation infinitésimale (interprétation physique) des coordonnées est égale à la dérivée partielle de F(x,y) en x (*) multipliée par la variation infinitésimale de x, plus la dérivée partielle de F(x,y) en y (**) multipliée par la variation infinitésimale de y. On ne néglige aucun infiniment petit dx ou dy.

Cordialement.

(*) dérivée de F(x,y) par rapport à x, en considérant y comme une constante.
(x*) dérivée de F(x,y) par rapport à y, en considérant x comme une constante.

[invited3a27037]

bonjour,

Il est difficile de bien comprendre ces trucs là quand on les voit pour la première fois, surtout quand c'est un prof de physique qui fait le cours ce qui est souvent le cas car ça sert surtout en physique. Je peux tenter une explication mais bon ...

Il existe une notion de forme différentielle, par exemple:

qui donne la variation infinitésimale de Q quand on passe d'un état défini par le point (x,y) du plan à un état voisin définit par le point (x+dx, y+dy)

Maintenant si on veut la variation de Q entre deux points distants, il faut calculer l'intégrale curviligne de entre ces 2 points, qui en général dépend du chemin choisi entre les 2 points du plan.

ce qui donne:


Il existe aussi des forme différentielles exactes qui proviennent d'une fonction F(x,y). On remplace le rond par un d droit. C'est l'objet de ton cours.



la différence avec les formes différentielles non exactes, c'est que l'intégrale curviligne entre 2 points ne dépend plus du chemin, mais seulement du point de départ A et d'arrivée B.



et sur un chemin fermé:

comme indiqué dans ton cours

bon voilà, c'est juste quelques éléments

[gg0]

En complément :

1) ce qui est marqué au crayon à côté (tes notes ?) est sans doute un élément d'une explication intuitive. mais il manque l'explication !
2) Intuitivement, on peut penser à F comme l'altitude z du point dont les coordonnées horizontales ("sur la carte") sont x et y. z=F(x,y) est alors l'équation d'une surface (imaginons une colline) (*). Quand on se déplace sur la colline d'un point A(x,y,z) à un point proche toujours sur la surface, noté A'(x',y', z'), on peut le faire en se déplaçant à ordonnée constante, de A à A1(x',y,z1) puis de A1 à A' (fais un dessin !), ou bien à abscisse constante de A à A2(x, y2,z2), puis de A2 à A'.

Si ces points sont proches, car la surface est assez "régulière" et x', y' et z' sont proches de x, y et z, on conçoit que combiner les déplacement de A à A1 et de A à A2 doit donner quasiment le déplacement de A à A'. Autrement dit z'-z vaut quasiment z1-z+z2-z. On est d'autant plus proche de l'égalité que le déplacement global est petit.

On écrit alors :

Quand on passe à la "limite", donc pour z'-z=dz (idée intuitive d'infiniment petit), on aboutit à ta formule (enfin, celle imprimée), car dans la première fraction, on travaille à ordonnée (y) constante, donc on dérive F en considérant y comme une constante, donc a pour limite .

On en déduit aussi la formule d'approximation très utile


Cordialement.


(*) dans la suite, je note z ce que tu appelles parfois F.

[invite38d9e885]

Bonjour Joel_5632.

Merci pour votre explication et le complément de gg0. C'est très clair à présent, dans ce cas la différentielle de la fonction F(x,y) a deux variable est la somme de l'accroissement infiniment petit de ces deux variables respectivement.
Ai-je bien saisi ?

Merci pour vos explications riches et bonne journée !