Espace vectoriel

[invite6eca8dc1]

Bonjour,

Je suis en plein drame familial, et votre aide pourrait sauver ce qu'il
reste d'une famille autrefois soudée.
Je suis en pleine révision de maths et je revoie les espaces vectoriels.
J'essaye de résoudre un problème dont je ne suis pas sûre de la solution.
J'en parle à mon père. Le problème, objet du conflit, est le suivant :

Soit un ensemble de fonction continues sur un intervalle [A,B] prenant
ses valeurs dans les Réels. Est ce un espace vectoriel ?
Soit f, g et h des fonctions sur cette intervalle, et a et b appartenant aux Réel :
-f+g appartiennent aux Réel
-a(f+g)=af+ag : la multiplication scalaire est distributive dans les objets
-(a+b)f=af+bf : la multiplication scalaire est distributive dans les scalaires
-a(bf)=abf : la multiplication scalaire est associative
-f+g=g+f : l'addition est commutative
-f+(g+h)=f+g+h : l'addition est associative
-On peut définir l'objet nul comme la fonction f0 ayant 0 comme valeur
sur l'ensemble [A,B] tels que : f0+g=g
-Pour toutes les fonctions, il existe une autre fonction tels que g+(-g)=f0

J'en conclu que l'ensemble des fonctions f définies sur un intervalle [A,B] forme
un espace vectoriel E, qu'elle que soit l'ensemble de définition [A,B]. En effet,
pour moi, l'ensemble de définition n'a d'importance sur l'espace vectoriel E
que si il apporte une condition tels que f(A)=-4. Dans ce dernier cas, l'ensemble
des fonctions f ne forme plus un espace vectoriel.
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[PlaneteF]

Bonjour,

3 remarques :

1) La condition d'appartenance à l'ensemble de fonctions de l'énoncé n'est pas seulement que ces fonctions aient leur valeurs dans , mais aussi quelles soient continues sur , chose que tu ne fais jamais apparaître dans tes vérifications.

2) L'ordre dans lequel tu vérifies les propriétés est un peu brouillon. Montre d'abord que l'ensemble muni de la bonne addition forme un groupe abélien, et ensuite tu vérifies les propriétés concernant la multiplication avec un scalaire.

3) Dans la pratique, on se pose plutôt la question : Est-ce que je ne pourrais-pas démontrer que cet ensemble est un sous-ev d'un ev connu, en l'occurrence l'ensemble qui lui est un -ev (muni des bonnes lois).


Cordialement

[PlaneteF]

J'oubliais une 4e remarque :

(...) tels que : f0+g=g

Ecrire cela ne montre pas l'existence d'un élément neutre, tu ne fais que rappeler la définition (une partie) de celui-ci.

Cdt

[invite6eca8dc1]

Merci beaucoup pour votre réponse.
Je prends note des commentaires.
Bonne journée.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Tu avais aussi oublié de vérifier la propriété : 1.f=f

Cdt