Bonjour à tous, j'ai un petit problème concernant la diagonalisation d'une matrice 4*4 qui est la suivante :
J'arrive à calculer le polynôme caractéristique qui donne PB()=
Pourquoi ne pas calculer les sous-espaces propres associes aux valeurs propres i et (-i) ?
Salut, le problème est que je ne connais pas la méthode pour calculer les sous-espaces propres associés aux valeurs i et (-i)Si tu peux m'éclairer sur ce point.
Le polynome caractéristique est x^4 - 2x^2 +1, qui se factorise en (x^2-1)^2 puis (x-1)^2 (x+1)^2, donc les valeurs propres sont 1,1,-1,-1 pas i et -i.
Salut Sylvainc2, je ne comprends pas comment tu arrives à trouver le polynôme caractéristique x^4-2x²+1 alors que moi je trouves x^4+2x²+1. Mais je ne trouve toujours pas la méthode pour trouver cette matrice diagonale.
Pour trouver le polynome caractéristique on doit calculer det( B - xI ) c'est le déterminant de:
-x 0 0 -1
0 -x -1 0
0 -1 -x 0
-1 0 0 -x
d'accord?
Puisqu'elle est presque triangulaire le plus simple est de faire le pivot de Gauss sur les lignes. Je fais:
Ligne3 = Ligne3 - (-1/-x) Ligne 2
Ligne4 = Ligne4 - (-1/-x) Ligne 1
Le résultat est:
-x 0 0 -1
0 -x -1 0
0 0 -x+1/x 0
0 0 0 -x+1/x
toujours d'accord?
Le déterminant de cette matrice est (-x)(-x)(-x+1/x)(-x+1/x) = x^4 - 2x^2 + 1
Je n'ai pas fait de permutation de lignes ni multiplier une ligne par une constante donc le det est demeuré inchangé. Donc c'est aussi det(B-xI). Les valeurs propres sont bien 1,1,-1,-1.
Ensuite pour diagonaliser il faut trouver les vecteurs propres de 1, il faut résoudre Bv = 1v soit (B-1I)v = 0 (il y en a 2).
Même chose pour -1: résoudre Bv = -1v soit (B+1I)v = 0, il y en a 2 aussi.
Finalement on place c'est 4 vecteurs dans les colonnes de la matrice de passage P et on calcule D = P^-1 B P.
Salut, merci pour l'explication c'était clair, je pense avoir compris. Merci
