exercice suite récurrente

[invite05ccbb13]

Bonsoir,

Je n'ai pas le corrigé de cet exo d'entrainement, pourriez-vous m'indiquer mes erreurs et m'expliciter le sens des questions.

L'énoncé est le suivant :
1. On considère la suite récurrente définie par .
a)Trouver les points fixes de f=x².
On résout f(x)=x²=x, on obtient deux point fixes : et

b)Montrer que les intervalles[0,1] et [1,+infini[ sont stables.
On vérifie qu'ils sont de classe C1 (continue et dérivable une fois). Ensuite comme f est continue sur [0,1] et que f(0)=0 et f(1)=1 alors elle est stable. On fait de même pour l'intervalle [1,+infini[ (en calculant la limite de f lorsque x tend vers +infini (c'est à dire f(x) tend vers +infini)). On conclu sur la stabilité

c)Montrer que pour la suite est décroissante et bornée. Est-elle convergente? Si oui qu'elle est sa limite?
Soit tel que . Posons .
Prenons n=0,

Ceci prouve la décroissance. (On aurait aussi pu raisonner par récurrence). Pour montrer qu'elle est bornée on calcule les limites. Lorsque :
a tend vers +infini, tend vers 0 c'est à dire et comme alors . Donc est minorée par 0.
Même raisonnement pour montrer qu'elle est majorée par 1.
Donc elle est bornée.
Elle converge vers 0 puisque qu'elle est monotone décroissante et minorée.

d)Montrer que pour la suite est croissante. Utiliser a) et b) pour conclure quant à sa convergence.
La fonction f(x)=x² étant croissante pour x>0, alors la fonction l'est aussi. Ce raisonnement suffit-il ou il faut faire un raisonnement par récurrence. Il fallait utiliser b)?

e)Déterminer à l'aide de ce que vous avez déjà obtenu comme résultat dans c) la nature de la suite pour .
La nature? Elle est décroissante dans ce cas aussi, c'est ceci la nature?

f)(Même que e) avec l'intervalle de d))

g)Quelle est la nature de la suite pour ?
Stationnaire?

2.Donner la formule pour le nième terme de la suite ,
S'agit-il d'exprimer ?
Je vous remercie.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

a)Trouver les points fixes de f=x².
On résout f(x)=x²=x, on obtient deux point fixes : et

Un point fixe est un réel, et là on te demande de les trouver ; mais de ton côté en écrivant cela tu ne donnes aucun réel, ... donc tu ne réponds pas à la question.

b)Montrer que les intervalles[0,1] et [1,+infini[ sont stables.
On vérifie qu'ils sont de classe C1 (continue et dérivable une fois). Ensuite comme f est continue sur [0,1] et que f(0)=0 et f(1)=1 alors elle est stable. On fait de même pour l'intervalle [1,+infini[ (en calculant la limite de f lorsque x tend vers +infini (c'est à dire f(x) tend vers +infini)). On conclu sur la stabilité

Hein, quoi ?? ... Tu parles de classe pour des intervalles

D'ailleurs écrit comme cela l'énoncé n'est pas complet, je suppose qu'il faut comprendre "montrer la stabilité des intervalles par la fonction f", c'est-à-dire par exemple pour le premier intervalle il faut montrer que

A noter que la continuité de n'intervient pas ici.

c)Montrer que pour la suite est décroissante et bornée. Est-elle convergente? Si oui qu'elle est sa limite?
Soit tel que . Posons .
Prenons n=0,

Ceci prouve la décroissance. (On aurait aussi pu raisonner par récurrence).

Tu n'as rien montré en disant cela. Où montres-tu que ??

Pour montrer qu'elle est bornée on calcule les limites. Lorsque :
a tend vers +infini, tend vers 0 c'est à dire et comme alors . Donc est minorée par 0.
Même raisonnement pour montrer qu'elle est majorée par 1.
Donc elle est bornée.

Charabia sibyllin.

Utilise la stabilité de par .

Elle converge vers 0 puisque qu'elle est monotone décroissante et minorée.

Mauvaise justification : Le fait que la suite soit décroissante et minorée te permet de conclure qu'elle est convergente, pas qu'elle converge vers .

Utilise la notion de point fixe.

d)Montrer que pour la suite est croissante. Utiliser a) et b) pour conclure quant à sa convergence.
La fonction f(x)=x² étant croissante pour x>0, alors la fonction l'est aussi. Ce raisonnement suffit-il ou il faut faire un raisonnement par récurrence.

Raisonnement clairement insuffisant.

e)Déterminer à l'aide de ce que vous avez déjà obtenu comme résultat dans c) la nature de la suite pour .
La nature? Elle est décroissante dans ce cas aussi, c'est ceci la nature?

Que penses-tu de ?

g)Quelle est la nature de la suite pour ?
Stationnaire?

Oui, ... elle est même constante.

2.Donner la formule pour le nième terme de la suite ,
S'agit-il d'exprimer ?

Oui.



Cordialement

[PlaneteF]

Un point fixe est un réel, (...)

Je précise --> C'est un réel ici dans cet exercice, pas d'une manière générale.

[invite05ccbb13]

Bonsoir PlaneteF,

Les points fixes sont 0 et 1.

Hein, quoi ?? ... Tu parles de classe pour des intervalles

D'ailleurs écrit comme cela l'énoncé n'est pas complet, je suppose qu'il faut comprendre "montrer la stabilité des intervalles par la fonction f", c'est-à-dire par exemple pour le premier intervalle il faut montrer que

A noter que la continuité de n'intervient pas ici.

Oui il faut montrer , le reste etant inapproprié.
Pour cela, on montre que l'on a f(0)=0, f(1)=1 et que puisque pour tout x>0, f'(x)=2x>0, alors la fonction f est strictement monotone croissante sur ]0,+infini[ donc strictement monotone croissante sur ]0,1[. Ainsi ]0,1[ est stable par f.
Est ce cela la stabilité?

Tu n'as rien montré en disant cela. Où montres-tu que ??

Effectivement, j'ai juste montré que . Il faut supposer f de Classe 1 sur IR et ajouter que et que .
Alors avec ces conditions on montre . Est-ce juste?

Pour montrer qu'elle est bornée, on dit que et que est décroissante donc elle est majorée par 1. Et comme elle admet 0 comme point fixe et qu'elle est décroissante alors elle tend vers 0 donc elle est minorée par 0. Elle est donc bornée par .
Y a t-il moins hasardeux? Notamment pour montrer qu'elle est bornée : dire que puisque ]0,1[ est stable par f et décroissante avec , alors . Puis pour la convergence : décroissante et minorée par 0 alors convergente, de limite son point fixe 0. Qu'en pensez-vous?

e) Que penses-tu de ?

Oui revient au même que puisque la suite est paire. (je sais pas si ça ce dit pour une suite?) Donc on a le même résultat qu'en c).

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir FreakyFlow,

Oui il faut montrer , le reste etant inapproprié.
Pour cela, on montre que l'on a f(0)=0, f(1)=1 et que puisque pour tout x>0, f'(x)=2x>0, alors la fonction f est strictement monotone croissante sur ]0,+infini[ donc strictement monotone croissante sur ]0,1[. Ainsi ]0,1[ est stable par f.
Est ce cela la stabilité?

L'énoncé parle de la stabilité de l'intervalle fermé , et d'ailleurs je ne sais pas pourquoi cela a été changé dans ma citation

L'idée est là dans ce que tu écris mais la justification finale n'est pas claire. Je te propose la rédaction suivante :

Rappel : Pour monter que , on montre que si alors

Donc ici on veut montrer que

Soit , donc

Donc et puisque est croissante sur , il vient , soit , et donc

Effectivement, j'ai juste montré que . Il faut supposer f de Classe 1 sur IR et ajouter que et que .
Alors avec ces conditions on montre . Est-ce juste?

Pour montrer qu'elle est bornée, on dit que et que est décroissante donc elle est majorée par 1. Et comme elle admet 0 comme point fixe et qu'elle est décroissante alors elle tend vers 0 donc elle est minorée par 0. Elle est donc bornée par .
Y a t-il moins hasardeux? Notamment pour montrer qu'elle est bornée : dire que puisque ]0,1[ est stable par f et décroissante avec , alors . Puis pour la convergence : décroissante et minorée par 0 alors convergente, de limite son point fixe 0. Qu'en pensez-vous?

Tes explications sont confuses et incomplètes.

Pour montrer que la suite est bornée, fais le par récurrence :

1) Tu vérifies que

2) Tu supposes que , et tu montres que
En utilisant la stabilité de l'intervalle par , et le fait que , la démonstration est immédiate !


Idem pour la décroissance de la suite, par récurrence :

1) Tu vérifies que

2) Tu supposes que , et tu montres que
Utilise le fait que les termes de la suite soit dans toujours dans un intervalle où est croissante et la démonstration est là aussi immédiate !

Oui revient au même que puisque la suite est paire. (je sais pas si ça ce dit pour une suite?) Donc on a le même résultat qu'en c).

Cordialement

[PlaneteF]

Utilise le fait que les termes de la suite soit dans toujours dans un intervalle où est croissante et la démonstration est là aussi immédiate !

Petite correction :

En Français cela donne : "Utilise le fait que les termes de la suite sont toujours dans un intervalle où est croissante et la démonstration est là aussi immédiate !"

[PlaneteF]

Il faut supposer f de Classe 1 sur IR

Autre chose : Mais pourquoi diable nous parles-tu encore de classe ici ??

[invite05ccbb13]

Oh... le professeur a écrit que la fonction est de classe 1 dans les conditions qui impliquent que la suite est monotone (c'est un théorème).

[invite05ccbb13]

Merci bien PlaneteF pour tes explications. La récurrence simplifie la vie.
A bientôt

[PlaneteF]

La récurrence simplifie la vie.

"La récurrence simplifie la vie" d'une manière générale, oui, ... mais ici c'est particulièrement l'utilisation de la fonction associée qui rend l'étude de la suite très simple.

Cdt