Élément neutre

[invite15c3f7bc]

Bonsoir!
Une question m'a été soumise: soit l'ensemble V={a,b } où a appartient et R et b aussi. La loi d'opération interne étant définie ainsi:
u1=(a1;b1) et u2=(a2;b2)
u1 (+) u2= (a1a2;b1b2)
Trouver si possible l'élément neutre.
Certains disent que E=(1;1) tandis que d'autres disent qu'il est inexistant étant donné que lorsqu'on effectue (en choisissant a):
a1/a2, cette fraction est indéfinie pour a=0, or puisque a et b sont définis sur R et non sur R*, il n'y a pas d'élément neutre pour V. Or, malgré cela, si on prenait a ou b =0, l'élément neutre E=(1;1) fonctionne tout de même. Qu'en dites-vous?
-----

[Seirios]

Bonjour,

La réponse dépend des valeurs de a et b, tu dois donc distinguer plusieurs cas possibles.

[gg0]

Bizarre.

la loi de composition n'est pas définie sur V.
L'énoncé est-il vraiment celui-ci ?

Je parie pour une retraduction ("traduttore traditore") malsaine.

Cordialement.

[Amanuensis]

Je ne comprends pas les réponses.

La loi de composition me paraît bien définie par:

Une question m'a été soumise: soit l'ensemble V={a,b } où a appartient et R et b aussi. La loi d'opération interne étant définie ainsi:
u1=(a1;b1) et u2=(a2;b2)
u1 (+) u2= (a1a2;b1b2)

En quoi est-ce insuffisant?


Il n'y a pas de dépendance à "des valeurs de a et b" dans cette description. Quelle serait-elle?


Et la loi a bien un élément neutre. (Et elle est associative et commutative...)

Enfin

Certains disent que E=(1;1) tandis que d'autres disent qu'il est inexistant étant donné que lorsqu'on effectue (en choisissant a):
a1/a2, cette fraction est indéfinie pour a=0, or puisque a et b sont définis sur R et non sur R*, il n'y a pas d'élément neutre pour V.

n'est pas facile à suivre, mais laisse penser à une confusion avec la symétrie (existence d'un opposé ou inverse).

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Une loi interne est définie sur un ensemble. ici, le seul ensemble donné est V.

Il est évident qu'il y a un mélange quelque part.

Bien sûr, s'il s'agit d'une LCI sur R, la réponse est évidente (dès qu'on applique la définition d'élément neutre).

Rappelons à Jp2 que la justesse en maths n'est pas une question d'opinion("Certains disent..."), mais d'application des règles.

Cordialement.

[Amanuensis]

Une loi interne est définie sur un ensemble. ici, le seul ensemble donné est V.

Mal écrit peut-être (et même sûr!), mais "soit l'ensemble V={a,b } où a appartient et R et b aussi" indique assez clairement que V = R².

Une écriture plus correcte serait "soit l'ensemble V défini comme celui des couples (a;b) tels que a et b soient des réels". (En mettant la notation en accord avec la suite du texte...)

[Amanuensis]

Par ailleurs,

la justesse en maths n'est pas une question d'opinion("Certains disent...")

C'est juste une question de forme. Je ne pense pas que le primo-posteur réfère à une notion d'opinion comme manière de faire des maths. Il dit juste qu'en discutant avec ses camarades il a entendu des réponses contradictoires, et qu'il ne sait pas quoi en faire.

[Médiat]

En quoi est-ce insuffisant?

Dans le fait que plusieurs interprétations sont possibles, qu'il y en ait une qui vous semble plus vraisemblable (à moi aussi d'ailleurs) n'est en rien une excuse.

Soit où appartient et et aussi, n'a pas le même sens que soit

[invitea6e91e1c]

L'ensemble des matrices 2x2 ayant un determinant non nul, muni de la multiplication des matrices x, forme un groupe non commutatif.

Ici, on a affaire à l'ensemble des matrices diagonales 2x2.
Il faut s'assurer que le determinant est non nul, soit a1*a2*b1*b2 différent de 0.

[gg0]

Je commence à comprendre ce qui a faussé l'énoncé : V={a,b} où a et b sont des réels est un ensemble à deux éléments.
L'énoncé a donc bien été mal recopié.

On aimerait avoir des nouvelles de Jp2

[invite15c3f7bc]

En effet, c'est cela ce que j'ai voulu dire. Désolé pour la confusion.

[invite15c3f7bc]

Oui c'est exactement celle-là. Dans ce cas, il y aurait un élément neutre?

[Amanuensis]

Oui c'est exactement celle-là. Dans ce cas, il y aurait un élément neutre?

Suffit d'appliquer la définition. Quelle est cette définition, et comment s'applique-t-elle à la loi de composition interne en question?

[invite15c3f7bc]

Le problème, c'est que lorsque a=0 et/ou b=0. À ce moment, il peut y avoir une infinité de solutions comme éléments neutres. Par exemple, pour a=1 et b=0, l'élément neutre pourrait être:
(1;0), (1,1),(1,2) etc. Même principe pour a=0 et b=0, dans ce cas, il y aurait une infinité de solutions. Or certains m'ont dit que justement pour cette raison, l'ensemble V n'a pas d'élément neutre car lorsque l'une des valeurs a ou b est égale à zéro, la solution n'est pas unique.

[Amanuensis]

Regardez mieux la définition d'un élément neutre. Il y a un quantificateur. Il ne s'agit pas de l'être pour un ou quelques éléments, mais pour tous.

[Médiat]

Bonjour,

La définition d'un élément neutre qui comporte deux quantificateurs ^(*), dans le cas d'une LCI notée * est :



On a l'impression que vous chercher à trouver des éléments vérifiant :



Ce qui change tout puisque la variable quantifiée existentiellement () peut dépendre des variables apparaissant avant dans la formule.

^(*) Je n'utilise pas l'autre définition utilisant un symbole de constante, pour faire le parallèle avec la formule suivante.

[gg0]

Sujet reposé sur cet autre forum avec le même énoncé malsain, et la même incompréhension de la définition d'un élément neutre.

[invitea6e91e1c]

Bonjour,

Pour aborder ce genre de problème, tu peux partir de la definition d'un élément neutre ou alors prendre un peu de recul et penser en termes de sous-groupes.

Il y a en grosso modo quelques groupes qu'il est bon de connaitre : , , les isométries et pour les matrices.

On peut alors se "raccrocher" à ces groupes pour voir si ton ensemble et la loi interne associée ne formeraient pas un sous-groupe d'un de ces groupes "pilliers".

Souvent l'ensemble que l'on a à étudier se présente comme un ensemble "connu" auquel on impose une restriction ou une contrainte.

Par exemple dans le cas present, la contrainte est d'imposer que les termes extra-diagonaux soient nuls.

L'élément neutre du sous-groupe est le meme que celui du groupe. L'élément neutre dans le cas present est donc la matrice identité.

[Médiat]

Bonjour,

Pour utiliser cela il faut d'abord démontrer qu'il y a bien un isomorphisme, entre l'ensembles des couples de réels (muni de (+)) et l'ensemble des matrices 2x2 diagonales à coefficients réels (muni du produit usuel).

[invitea6e91e1c]

Bonjour,

Pour utiliser cela il faut d'abord démontrer qu'il y a bien un isomorphisme, entre l'ensembles des couples de réels (muni de (+)) et l'ensemble des matrices 2x2 diagonales à coefficients réels (muni du produit usuel).

Je ne pense pas.
Ici, il n'y a pas besoin de passer par une application bijective (ou isomorphisme de groupe).
On reste cantoné à la notion de sous-groupe.
Une partie H d'un groupe est un sous groupe de celui-ci s'il vérifie les trois conditions suivantes:
1. L'élement neutre du groupe appartient à H.
2. Pour tout x,y appartenant à H, x+y appartient à H
3. Pour tout x appartenant à H, l'inverse de x appartient à H.

Alors le sous groupe H devient aussi un groupe avec la loi + qui est celle du groupe.

Donc pas besoin d'utilser de morphismes de groupes dans ce cas précis.

[Médiat]

On reste cantoné à la notion de sous-groupe

L'énoncé ne parle pas de l'ensemble des matrices 2x2 diagonales à coefficients réels (muni du produit usuel), mais de l'ensembles des couples de réels (muni d'une opération spécifiquement définie) ; vous devez donc commencer par démontrer qu'il y a isomorphisme entre les deux, et comme le premier est un sous-groupe, par isomorphisme le second est bien un groupe.

Une partie H d'un groupe

J'insiste, mais justement l'ensemble dont il est question n'est pas une partie de l'ensemble des matrices

[gg0]

Pseudoarallonge et tellement content de son astuce qu'il a oublié l'énoncé du sujet.

Et pour une question aussi simple, qu'on pose à des débutants qui en savent moins que lui, utiliser des résultats "élaborés" est une très mauvaise idée. il faut aussi apprendre à montrer les propriétés des opérations, avant de justifier des structures.

Cordialement.