Sous espace vectoriel de C²

invitec18871ef · 26/10/2013, 21h09

Bonjour,

Ca y est, après avoir manger pas mal de définition sur les espaces vectoriels je rentre en plein dans l'algèbre avec ce petit exercice qui me donne beaucoup de peine. Voici l'énoncé :

Déterminer les nombres complexes a pour lesquels
{ (1 + a, 1 - a), (1 - a, 1 + a) }
est une base de C²

D'après le théorème des bases vectorielles ces deux vecteur sont une base de C² ssi :

Ils appartiennent à C²
Pour tout u appartenant à C² il existe des complexes x et y dans C vérifiant x(1 + a, 1 - a) + y(1 - a, 1 + a) = u

Ce que j'ai fait :

Je pose z, z' dans C et je définis u(z, z')
maintenant j'ai un système à deux équations :

x + ax + y - ay = z
x - ax + y + ay = z'

qui devient

a (x - y ) = z - x - y
a (-x + y) = z' - x - y

Si on ajoute ces deux lignes on obtient z+z'=0, ce résultat me parait totalement incohérent, peut-être suis-je en train de faire n'importe quoi...
Je vous rappelle qu'on cherche a.

**Médiat** · 26/10/2013, 21h16

Envoyé par nscott32

a (x - y ) = z - x - y
a (-x + y) = z' - x - y

Si on ajoute ces deux lignes on obtient z+z'=0.

Vous êtes sûr ?

invitec18871ef · 26/10/2013, 21h36

Effectivement il y a une erreur, en ajoutant les deux lignes on obtient :
z+z'-2x-2y = 0

Mais je ne comprend pas où cela me mène...

**Médiat** · 26/10/2013, 21h44

Vous avez un système de 2 équations à 2 inconnues (x et y) ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**PlaneteF** · 26/10/2013, 22h09

Bonsoir,

Envoyé par nscott32

Voici l'énoncé :

Déterminer les nombres complexes a pour lesquels
{ (1 + a, 1 - a), (1 - a, 1 + a) }
est une base de C²

Remarque : L'énoncé est incomplet, il faut préciser le corps sur lequel on travaille, car d'une manière générale la réponse ne sera évidemment pas la même si le corps est C ou R.

Cordialement

**PlaneteF** · 26/10/2013, 22h20

Envoyé par PlaneteF

(...) si le corps est C ou R.

... je précise "par exemple".

**Médiat** · 26/10/2013, 22h27

L'énoncé précisant qu'il faut trouver deux couples de nombres complexes pour fabriquer une base de $\text{[math]}$ , c'est suffisant, non ?

invitec18871ef · 26/10/2013, 22h31

C'est la variable a que l'on cherche à trouver, or je n'ai plus de a dans mon équation.

**PlaneteF** · 26/10/2013, 22h40

Envoyé par Médiat

L'énoncé précisant qu'il faut trouver deux couples de nombres complexes pour fabriquer une base de $\text{[math]}$ , c'est suffisant, non ?

C² n'a pas la même dimension s'il est vu comme un R-ev ou un C-ev.

En tant que R-ev, il est de dimension 4 et une base est : ( (1,0) , (i,0) , (0,1) , (0,i) )

En tant que C-ev, il est de dimension 2 et une base est : ( (1,0) , (0,1) )

Donc on peut déjà dire qu'ici, si C² est un R-ev l'ensemble des solutions de l'énoncé S={}

Cordialement

**Médiat** · 26/10/2013, 22h53

J'avais bien compris votre intervention, mais dans l'énoncé il est question de 2 vecteurs de bases, donc le cas d'un R-ev est exclu.

Si l'énoncé avait précisé le corps de base, cela n'aurait pas été plus mal, je suis d'accord avec vous, mais ici il n'y a pas beaucoup d'ambiguïté.

invitec18871ef · 26/10/2013, 22h55

Je crois qu'on parle ici d'un C-ev

Il faut trouver a, nombre complexe vérifiant que les vecteurs (1+a, 1-a) et (1-a, 1+a) soient une base de C².

Dans C, tout est plus complexe bien sûr...

**Médiat** · 26/10/2013, 23h03

Envoyé par nscott32

C'est la variable a que l'on cherche à trouver, or je n'ai plus de a dans mon équation.

Lorsque vous écrivez :

maintenant j'ai un système à deux équations :
•x + ax + y - ay = z
•x - ax + y + ay = z'

Vos inconnus sont x et y, mais vous serez amener à discuter les solutions en fonction du paramètre a.

**PlaneteF** · 26/10/2013, 23h23

Envoyé par Médiat

J'avais bien compris votre intervention, mais dans l'énoncé il est question de 2 vecteurs de bases, donc le cas d'un R-ev est exclu.

Selon moi c'est une question d'interprétation : Je peux souscrire d'autant plus facilement à celle-là que c'est celle que j'ai faite en première lecture, et ensuite aussi. Après je vois une autre lecture possible qui est peut-être un peu capillotractée (?) auquel cas j'aurais peut-être dû la signaler comme telle, et c'est celle qui consiste à dire : Si R est le corps de travail, on me demande de fabriquer une base d'un ev de dimension 4 avec 2 vecteurs dépendant du paramètre a complexe, cela n'est pas possible quelle que soit la valeur de a complexe, donc l'ensemble des solutions est vide.

N.B. : Mon petit doigt me dit que l'on ne convergera pas sur cette dernière lecture

Cordialement

**PlaneteF** · 26/10/2013, 23h34

Envoyé par PlaneteF

on me demande de fabriquer une base d'un ev de dimension 4 avec 2 vecteurs dépendant du paramètre a complexe, cela n'est pas possible quelle que soit la valeur de a complexe, donc l'ensemble des solutions est vide.

J'enlève le terme "paramètre".

invitec18871ef · 27/10/2013, 09h48

Mmh... je reste sceptique, je suis persuadé qu'il y a des solutions (c'est le premier exercice traitant de combinaisons linéaires, ce serait gonflé tout de même de nous en donner un qui n'a pas de solution! Enfin peut-être...

Verdict lundi après la correction en classe!

**gg0** · 27/10/2013, 10h00

Bonjour Nscott32.

Rassure-toi, l'énoncé a seulement oublié de dire qu'il s'agit d'un espace vectoriel sur $\text{[math]}$ .
Je rectifie ce que tu disais au premier message (c'était incomplet):

D'après le théorème des bases vectorielles ces deux vecteur sont une base de C² C-espace vectoriel ssi :

Ils appartiennent à C²
Pour tout u appartenant à C² il existe [des] un unique couple de complexes x et y dans C vérifiant x(1 + a, 1 - a) + y(1 - a, 1 + a) = u

Cordialement.

invitec18871ef · 27/10/2013, 10h15

Tout à fait, tu fais très bien de me corriger. Je l'ai revu hier soir dans le cour, c'est cela qui différencie une base d"une famille génératrice quelconque.

Merci!

**PlaneteF** · 27/10/2013, 11h50

A noter qu'ici on peut utiliser un argument sur les dimensions qui simplifie la résolution :

Puisque la dimension de C² comme C-ev = 2, alors toute famille de 2 vecteurs libre ou génératrice est une base.

Dit autrement, pas besoin de chercher une famille de 2 vecteurs qui soit à la fois libre et génératrice, l'un ou l'autre suffit.

Cdt

invitec18871ef · 27/10/2013, 15h32

Bien vu PlaneteF!

Alors dans ce cas je crois que cette réponse suffirait :

Tout a vérifiant que les deux vecteurs soient libres (non colinéaires, donc a != 1 et a != 0) soit a appartient à C privé des valeurs 0 et 1.
Y a-t-il un contre exemple?

Sinon j'ai bon!

**PlaneteF** · 27/10/2013, 15h55

Envoyé par nscott32

soit a appartient à C privé des valeurs 0 et 1.

Sans faire le moindre calcul, on peut dire que pour une raison de symétrie évidente l'ensemble des solutions que tu proposes est faux :

En effet si l'on remplace $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ la famille reste exactement la même, donc si $\text{[math]}$ est une solution forcément $\text{[math]}$ aussi. Or ici dans ta réponse, $\text{[math]}$ est une solution mais pas $\text{[math]}$ , ce qui n'est pas possible !

Cdt

invitec18871ef · 27/10/2013, 16h28

Oui c'est vrai, s'il y a 1 il y a aussi -1...
J'ai l'impression qu'il n'existe aucun a permettant de faire une base de C² avec ses deux vecteurs...
Je ne saurais cependant l'expliquer...

Quelqu'un pour confirmer?

**gg0** · 27/10/2013, 16h39

Tant que tu ne t'attaqueras pas sérieusement au calcul, tu resteras dans le flou.

Tu ne vas pas passer ta vie à essayer de deviner la bonne réponse. Au travail !!

**PlaneteF** · 27/10/2013, 16h43

Envoyé par nscott32

Oui c'est vrai, s'il y a 1 il y a aussi -1...

Ou s'il n'y a pas 1, il n'y a pas -1 non plus !

Envoyé par nscott32

J'ai l'impression qu'il n'existe aucun a permettant de faire une base de C² avec ses deux vecteurs...

???

**PlaneteF** · 27/10/2013, 16h54

Tu peux toujours prendre certaines valeurs de a pour "sentir" l'exercice, pourquoi pas :

Si a=0, la famille est ( (1,1) , (1,1) ) qui ne forme pas une base de C² comme C-ev.

Si a=1 ou -1, la famille est ( (2,0) , (0,2) ) qui forme bien une base de C² comme C-ev.

Maintenant une fois que tu as écrit cela, tu n'as toujours pas résolu la question : Faut faire tomber un bon vieux raisonnement de chez raisonnement

Cdt

invitec18871ef · 27/10/2013, 17h52

C'est le fait que ce soit dans C² qui bloque ma compréhension.
EUREKA, ma comprehension se débloque enfin!

Merci PlaneteF, en tentant de trouver un contre-exemple à ta base j'ai pu me rendre compte que (( (2,0) , (0,2) ) est bien une base deC² car j'avais du mal à le concevoir...

Allez maintenant je raisonne!

**PlaneteF** · 27/10/2013, 17h57

Envoyé par nscott32

(...) j'ai pu me rendre compte que (( (2,0) , (0,2) ) est bien une base deC² car j'avais du mal à le concevoir...

Ben cette base est très "proche" (façon de parler) de la base canonique qui est ( (1,0) , (0,1) ) et que tu dois connaître je suppose ?!

invitec18871ef · 27/10/2013, 18h12

Oui bien sur, j'avais simplement oublié que n'importe quel nombre complexe pouvait multiplier un vecteur de C².

Est-ce qu'une base peut ne pas contenir de coordonnées 0?

**gg0** · 27/10/2013, 18h21

Bine sûr,

mais il est temps de t'y mettre au lieu de poser des questions de détail par procrastination ...

**PlaneteF** · 27/10/2013, 18h37

Envoyé par nscott32

Est-ce qu'une base peut ne pas contenir de coordonnées 0?

( (1,1) , (-1,1) ) par exemple forme bien une base de l'ev donné par l'énoncé !

invitec18871ef · 23/11/2013, 14h28

Compris!

(après tant de temps il le fallait bien)

Merci à tous, vos réponses m'ont bien aiguillé.

Sous espace vectoriel de C²

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