espace vectoriel

[PlaneteF]

Oui ... et donc ?! ...
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[invitef235ecac]

Vas-y, enchaîne, parce que là on n'est pas couché

N.B. : A aucun moment tu n'as précisé dans ton énoncé que le corps de base était R

H=vect{u1.....up}
et K=vect{v1......v}

Soit x un element de H on est daccord quil va secrire comme combinaison lineraire des u1.....up
x = A1 u1 + A2 u2...+....Apup Avec les A des reels

Maintenant je pose y un élément de K donc je peux ecrire y comme ca
y=B1 v1 + B2 v2 + .....Bqvq

Soit w un element de H+K
w = x +y
= A1 u1 + A2 u2 + A3 u3...+Apup + B1v1 + B2v2 + B3v3 + ...Bqvq

d'ou w secrit comme cobinaison linaire de u1 ,u2 ,u3, ... up , v1 , v2 , v3.....vq

donc H+K = vect {u1,u2....,up,v1,.....vq}

CQFD

[PlaneteF]

donc H+K = vect {u1,u2....,up,v1,.....vq}

CQFD

Pas tout à fait, tu as démontré que H+K est inclus dans Vect(u₁,...,u_p,v₁,...v_q)

Maintenant l'autre inclusion est tout aussi évidente.

[invitef235ecac]

Jai montré que H+K est inclus dans Vect(u1,...,up,v1,...vq)

Dans l'autre sens je dois résonner a partir de quoi ?

[PlaneteF]

Jai montré que H+K est inclus dans Vect(u1,...,up,v1,...vq)

Dans l'autre sens je dois résonner a partir de quoi ?

C'est quasiment la même chose :

Soit x appartenant à Vect(u₁,...,u_p,v₁,...v_q)

Donc x s'écrit x=a₁u₁+...+a_pu_p+b₁v₁+...+b_qv_q

Maintenant le regroupement est évident ...

[invitef235ecac]

Ahh okk merci et bonne nuit

[PlaneteF]

Disons que là l'égalité est tellement évidente que l'on aurait même pu faire une rédaction en montrant l'égalité d'un coup, ... mais dans le cas général, on doit démontrer la double inclusion.

[invitef235ecac]

Je refaisais les exercices et je me demandais si un élément de H appartient a H+K ca suffit pour dire que H est un sous espace de H+K ?

[gg0]

Non,

mais si tu connais ton cours, tu peux relire ce qu'est un sev et voir que la suite est facile ...

[invitef235ecac]

H est un sev s'il contient le vecteur nul et si u et v 2 vecteurs de H alors u+Bv appartiennent a H

donc pour revenir a ma question si x un élélent de H ca inclus que il y'a une infinité d'autres élément dans la même situation que x ( qui sont dans H ET dans H+k ) comme :
Bx ( ou B est un reel ) ou encore le vecteur nul

[gg0]

Tu ne donnes pas la définition d'un sev, seulement un théorème.

E est un sev de (F,+,.) si E est une partie de F qui est une espace vectoriel une fois munie de + et . (donc (E,+,.) est un espace vectoriel).

Dans le cas de H et H+K, c'est presque évident ....

[invitef235ecac]

Donc H est un sev de H+K si H est une partie de H+K qui est un espace vectoriel une fois muni de . et +

Alors on a montré que H est une partie de H+K car si on prend un vecteur x de H il peut secrire comme : x=x+0 et 0 un vecteur de K

Pour la deuxième partie je cherche a montre que H est stable par . et + ?

[invite179e6258]

H est un sev s'il contient le vecteur nul et si u et v 2 vecteurs de H alors u+Bv appartiennent a H

et B c'est quoi?

[invitef235ecac]

Un reel
Bon est ce que je pourrai juste avoir une réponse clair à la question démontrer que H est un sous espace de H+K ou H et K sont deux sous espaces de V

Parceque là j'ai différente réponse a chaque fois je sais plus

[invitef235ecac]

Ca suffit de dire que x appartient a H et x=x+0 ou 0 appartient a K ?

je pense que la jai juste montrer que H est un sous ensemble de H+K mais pas un sous espace vectoriel de H+K

Edit :

Si je rajoute ca :

u et v 2 vecteurs de H et B un reel

alors u+Bv appartient a H (...mais comment le montrer ? )

[gg0]

Donc H est un sev de H+K si H est une partie de H+K qui est un espace vectoriel une fois muni de . et +

Alors on a montré que H est une partie de H+K car si on prend un vecteur x de H il peut secrire comme : x=x+0 et 0 un vecteur de K

Pour la deuxième partie je cherche a montre que H est stable par . et + ?

Mais tu le sais déjà puisque H est .... (toujours la définition !) Tu sais même plus, tu sais déjà que (H,+,.) est un espace vectoriel

C'est pour ça que c'est évident !

NB : Avant d'apprendre les théorèmes, apprendre la signification des nouveaux mots (ici ce qu'est un sev)

[invitef235ecac]

Ok donc je rédige comme ca :

Soit x un élément de H

alors x=x+0 ou 0 est un élément de K

donc x appartient a H+K on en conclut que H est un sous ensemble de H+K

De plus H inclus dans H+K et H est un espace vectoriel ( car H sous espace de V )
==> H sous espace vectoriel de H+K

La c'est parfait ?

[invitef235ecac]

Dire qu'un ensemble H est un sev ca revient aussi a dire que c'est un espace vectoriel

[gg0]

Attention, H est un ensemble, pas un espace vectoriel :
"De plus H inclus dans H+K et (H,+,.) est un espace vectoriel ( car H sous espace de V ) "

Quand on parle de sev, on n'a pas besoin de préciser les lois, puisque ce sont celles de l'espace vectoriel. On devrait d’ailleurs dire "car H sous espace de (V,+,.)". Mais ici, on abrège car les lois sur V sont supposées connues depuis le départ.

"Dire qu'un ensemble H est un sev ca revient aussi a dire que c'est un espace vectoriel " ?? Non, pas de flou stp. Revois la définition (sans le fait que ce sont les mêmes opérations, ça n'est plus bon).

[invite179e6258]

u et v 2 vecteurs de H et B un reel

alors u+Bv appartient a H

je vois bien qu'il suffit de faire intervenir un scalaire (au lieu de deux) mais pour ma part je trouve que c'est un raffinement un peu ridicule...
et finalement je préfère :
- si u et v sont dans H, u+v est encore dans H
- si u est dans H et x dans K, xu est dans H

[invitef235ecac]

Bonsoir j'ai un problème avec une question est VRAIE /FAUX
S'il existe dans chaque ligne de la matrice des coefficients A une position de pivots alors l'equation Ax=b est incompatible

Ça me parait évident que c'est faux je dirai même qu'il faudrait même remplacer incompatible par compatible
dans le corrige ils mettent vraie