ACP pur determination d'une droite

[bird12358]

Bonjour,

Je voudrais déterminer une droite à partir d'un ensemble de point. Pour cela je voudrais utiliser la méthode ACP.
J'ai lu quelques cours sur internet mais je souhaiterai avoir quelques précisions.

J'ai trouvé une méthode mais je ne suis pas sur de la comprendre:
D'apres ce que j'ai compris il faut démarrer par calculer le centre du nuage de points. Ensuite pour chaque point du nuage on calcul de vecteur vp formé par le point et le centre du nuage. Puis dans le cas de l'estimation du droite en 2D on calcule vp' * vp que l'on ajoute à une matrice de covariance m2cov (initialisé à 0).

Pour finir on calcule les vecteurs propres de cette matrice et on obtient la normal à la droite que l'on recherche. Et avec la centre du nuage et la normal on a notre droite.

Je ne comprends pas comment à partir de cette matrice de covariance on obtient une estimation de la normal à la droite que l'on recherche??


Si quelqu'un pouvait m'éclairer.

D'avance merci.
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[acx01b]

salut,

tu as une matrice de points

(x1,y1)
(x2,y2)
...
(xn,yn)

tu mets tout ça dans une matrice M,
puis tu cherches v de norme 1 tel que


c'est à dire que tu cherches v tel que le projeté de (xi,yi) sur v soit une bonne approximation de (xi,yi)

comme v est de norme 1, ça revient à maximiser (sous la contrainte que v est de norme 1)


le point un peu compliqué c'est que cette dernière formulation c'est exactement un problème aux vecteurs propres dont la solution est le plus grand vecteur propre de

en plus grande dimension (si tu cherches plusieurs v : v1,v2,...vk) ou avec des points en dimension plus que 2 c'est exactement pareil

Note qu'il est souvent utile de rajouter une colonne de 1 dans la matrice M car sans les 1 tu as une relation du types alors qu'avec la colonne de 1 tu obtiens une relation du type

[bird12358]

Merci pour cette explication mais en fait dans l'algo je ne crois pas qu'il fasse ca.

Il y a d'abord un calcul du centre du nuage de point pMean. Ensuite il crée des vecteurs vp formé des points et du point Pmean.
Ces vecteurs sont ajouté dans une matrice m2cov = m2cov + vp*vp' et c'est seulement après qu'il calcule les vecteurs propres.

[acx01b]

En fait la morale c'est que si tu n'étudies ni mon post ni wikipedia ni aucun cours sur l'ACP c'est sûr que tu ne pourras jamais savoir si tu avais raison ou non !

Tu as déjà étudié la régression linéaire de terminale ES où l'on cherche à minimiser ?
Si ce n'est pas le cas tu devrais, avant de regarder l'ACP.

La morale c'est qu'aussi bien avec l'ACP qu'avec la régression linéaire habituelle on pose :

sauf qu'avec l'ACP le critère à minimiser est symétrique en x,y :
ce qui amène un problème aux vecteurs propre, donc plus compliqué à comprendre que la régression linéaire de terminale.

Juste un dernier truc : dans mon premier post, si on soustrait d'abord leurs moyennes aux points, c'est exactement la matrice de corrélation (de taille 2x2) dont tu parles

[A voir en vidéo sur Futura]