convergence, série de Fourier..

[invite4c80defd]

bonjour à tous,
J'ai un exo à faire sur les éries de Fourier et j'ai quelques difficultés....
on considère la fonction f(x)=x^2 2pi-périodique, pour appartenant à [0,2pi[.
je dois trouver la série de fourier pour travailler dessus ensuite.
J'ai calculé les coeff trigo et j'ai trouvé (si pas d'erreurs)
an(f)=4/n^2 pour n>=1.
bn(f)=-4pi/n pour n>=1.
a₀(f)=8pi^2/3

j'en ai déduit la série de Fourier de f:
S(f)(x)=8pi^2/3 + sigma pour n>=1 de (4cos(nx)/n^2 - 4pisin(nx)/n)

je dois trouver le domaine de convergence D de cette série et la somme S(x) de cette série pour tout x de D.

j'ai coupé en deux séries S(f)(x):
S(f)(x)=8pi^2/3+4*sigma( cos(nx)/n^2 ) -4pi*sigma( sin(nx)/n ),

j'ai montré que la premiere partie convergeait (j'ai pris le module, qui est inférieur à une série de riemann) et ceci pour tout x de R (qu'en dites-vous ?)

pour la deuxieme, on a montré en cours il y a quelques semaines que sigma pour n>=1 de sin(n)/n convergeait. (critere d'Abel)
donc sigma( sin(nx)/n ) converge pour x=0 ( ça fait 0) , pour x=1 (vu que sigma pour n>=1 de sin(n)/n converge), ...et pour tout x de R ?

et donc, le domaine D recherché serait R ?


2eme point:
pour le somme: je pensais utiliser Dirichlet, et du coup, j'obtiens que la somme de la série vaut ( f(x+) + f(x-) ) / 2
mais que dire d'autre ?

merci d'avance pour vos suggestions ?
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[gg0]

Bonjour.

Je ne trouve pas les mêmes coefficients que toi, seulement la moitié. Tu as bien divisé par (2Pi) ?

Sinon, pour la convergence, tu n'as pas un théorème en cours qui parle de cela, ou du lien entre fonction continue par morceaux et série de Fourier ?

Enfin, pour la somme, comme la fonction est essentiellement continue, pas de souci, sauf aux discontinuités : Où est-elle discontinue ?
D'ailleurs, si tu utilises Dirichlet, tu as ta réponse pour la convergence, non ??

Cordialement.

[invite4c80defd]

quel(s) coefficient(s) serait faux ?
j'ai appliqué les definitions du lien http://www.bibmath.net/dico/index.ph...rierserie.html avec le 1/pi devant l'intégrale.

sinon, en ce qui concerne le lien entre fonction continue par morceaux et série de Fourier , j'ai feuilleté mon cours à l'instant et je n'ai rien trouvé a part le theoreme de Dirichlet (convergence simple de la série de Fourier) et une propostion qui dit que la série de Fourier converge normalment sur R si f est 2pi-périodique et C1 par morceaux ...
faut-il utiliser cette proposition là ?

merci

[gg0]

Effectivement, il n'y a problème que pour a₀.

"j'ai feuilleté mon cours à l'instant et je n'ai rien trouvé a part ..."

Cordialement.

NB : Tu n'as vu en cours que les fonctions de période 2Pi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4c80defd]

nous n'avons étudié que les fonctions 2pi-périodiques , pourquoi ?
que dois-je faire du coup pour résoudre cet exo ?
y'aurait-il une propriété que je puisse utiliser ?

merci

[gg0]

Effectivement,

on peut se contenter des fonctions de période 2Pi, mais les séries de Fourier concernent toutes les fonctions périodiques intégrables sur un période.

"que dois-je faire du coup pour résoudre cet exo ? " Appliquer les règles, en particulier les théorèmes vus en cours qui donnent immédiatement la réponse. Pour cela il faut les étudier et les comprendre.

Tu perds ton temps en n'apprenant pas tes leçons : le cours est fait pour te simplifier la vie, pas pour gâcher du papier.

Cordialement.

[invite4c80defd]

j'ai bien des propositions qui traite de la Cv, mais celles-ci impose que sigma des an et sigma des bn convergent (absolument) , du coup, je les ai écarté sans réfléchir car sigma des bn et la série harmonique qui est DV...

[invite4c80defd]

après , il y aurait l'inégalité de Bessel qui dit que, si on a une fonction 2pi-périodique, continue par morceaux, alors, sigma (|an|^2+|bn|^2) converge
serait-ce celle-ci à laquelle vous feriez allusion ?

[gg0]

Bon sang, tu as de la peau de sos devant les yeux !!

Tu as cité un théorème qui dit que la série converge et tu n'as même pas essayé de voir s'il pouvait te servir ??

Ou alors tu fais une question d'une partie de l'énoncé dont tu n'as pas parlé ...

Il y a des jours où tu ne te sers vraiment pas de ta tête

[invite4c80defd]

la question est : trouver le domaine de convergence D de cette série et la somme S(x) de cette série pour tout x de D.
je viens à l'instant de voir que vous avez modifié un de vos précédents messages,donc il faut bien utiliser Dirichlet.
seulement, j'ai un souci pour la rdaction.
je considère f de R dans R.
je dois établir qu'elle est C1 par morceaux à limites finies sur [0,2pi], sachant qu'elle est 2pi-périodique
je procede donc ainsi: (dites moi si je me trompe)
f est continue sur [0,2pi[,
f continue en 2pi à gauche,
f est de classe C1 sur [0,2pi[
f admet une limite finie en 2 pi à gauche
f'(2pi) existe, donc f dérivable en 2pi donc continue
donc f est de classe C1 sur [0,2pi] .

alors, d'apres Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement pour tout x de R
cela suffit pour déduire D=R ?

[invite4c80defd]

Enfin, pour la somme, comme la fonction est essentiellement continue, pas de souci, sauf aux discontinuités : Où est-elle discontinue ?

elle est discontinue en "n2pi" , c'est-a-dire , à tous les multiples de 2pi, on a un probleme de continuité.
vous voudriez dire que la série de Fourier CV vers (f(2npi+)+f(2npi-))/0.5 ? (ce n'est qu'une idée )

[gg0]

Il faut en plus que la dérivée ait aussi des limites finie aux bouts des "morceaux".(en général, c'est ce qui est demandé). ici, on a la restriction sur chaque intervalle d'une fonction , donc pas de problème !
On a et la convergence, et la valeur de la somme.

Attention, f n'est pas dérivable parce que discontinue en k.2Pi, contrairement à ce que tu dis.
Et aussi : Quelle différence tu fais entre "converge pour tout x de R " et "Domaine de convergence R" ?????

Cordialement.

[invite4c80defd]

euh ben je fais pas beaucoup de différences....pourquoi ?

[gg0]

A cause de la question que tu as posée :

alors, d'apres Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement pour tout x de R
cela suffit pour déduire D=R ?

Autre chose :

vous voudriez dire que la série de Fourier CV vers (f(2npi+)+f(2npi-))/0.5 ? (ce n'est qu'une idée )

Tu ne devrais pas avoir besoin d'explication pour appliquer les théorèmes; ça ne demande quasiment pas d'intelligence, seulement de la bonne volonté.

Tu es dans un fonctionnement école maternelle :
" - Fais-ci
- Je fais ci ?
- Oui
- Maitresse, j'ai fait, c'est ce qu'il fallait faire ?"

Une fois les hypothèses d'un théorème validées, on l'applique. Sans se demander si c'est ça, puisque le théorème dit que c'est ça !!!

[invite4c80defd]

je vais encore passer pour un idiot mais je voudrais récapituler les étapes de la rédaction pour le C1 par morceaux...

on sait que f est continue sur [0,2pi[, (+continue en 2pi à gauche)
et f admet une limite finie en 2pi à gauche
de +, f est dérivable sur [0,2pi[ et sa dérivée f'(x) est continue sur [0,2pi[: donc f est de classe C1 sur [0,2pi[
de+ , f'(x) admet une limite finie en 2pi
donc, f est de classe C1 par morceaux sur [0,2pi]

cela serait correct (il ne manque plus de justifications ?)

[gg0]

Non, pas de problème.

Il y a tous les éléments.

Nb : Tu ne passes pas vraiment pour un idiot, mais pour un indécis (j'ai tout fait, ou pas) qui ne prend pas ses responsabilités. Comment crois-tu que je fais ? Que font tes profs ? Ils n'ont pas des bouquins avec les corrigés de tous les exercices; d'ailleurs qui les aurait faits ???

[invite4c80defd]

ok merci .
j'ai encore une petite question
je dois calculer plusieurs valeurs de somme de séries ensuite et je bloque pour la derniere.
j'ai déjà calculé sigma (1/n^2) et sigma(-1)^(n+1)/n^2
mais je n'arrive pas à trouver sigma ( (-1)^n/(2n+1) ) (n allant de 0 à +inf)
j'ai bien pris x=pi/2, pour me débarrasser du cos et ne garder que le sinus qui contient au dénominateur une puissance 1 de n , mais sans succès...
pourriez-vous me donner une petite piste svp ?


merci

[invite4c80defd]

ah non, j'ai trouvé mon erreur !
tout est bon.
Merci et bonne journée !