Nature de séries numériques

[Biju]

Bonjour à tous !
Ayant eu un partiel il y a peu, j'aimerais savoir si d'après vous j'ai fait bon. Voici les séries dont je dois étudier la nature;

Pour la première, j'ai utilisé le critère de d'Alembert, avec . Vu que la limite sup est supérieure à 1, la série diverge.
Pour la deuxième, j'ai réduit la fraction, je trouve . Comme le terme général est positif, je peux utiliser un équivalent, qui à l'infini, est . La série de terme général converge, donc la série converge.
Pour la troisième, c'est une série alternée, avec décroissante et tendant vers 0 en l'infini. Or la série de terme général diverge. Donc semi-convergente.
Enfin pour la dernière, j'avoue ne pas être du tout sûr... Une idée?
Merci!
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[Biju]

Désolé pour le double-post: pour la dernière, peut-être dire que ?

[ansset]

pour la dernière tu peux utiliser un DL majorant de sin(1/n) !

[Tryss]

C'est correct. Pour la première tu pourrais même utiliser le fait que le terme général ne tend pas vers 0

Pour la dernière, il faut remarquer que c'est une série a termes tous négatifs, donc on peut utiliser les équivalents.

C'est négatif, car sin(x) < x sur R+ donc n.sin(1/n) < 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

je dirais que pour la dernière il faut un DL de en 0 à l'ordre 3, et un DL de à l'ordre 1

et je n'ai pas trop compris cette histoire d'équivalent seulement si le terme général de la série ne change pas de signe, ça me parait étrange comme règle.. pour moi il faut juste appliquer les DL correctement en appliquant correctement les règles d'addition et de multiplication des termes entre

[Biju]

@Tryss, en fait tu fais bien d'aborder le sujet... J'ai déjà abordé en cours dans le cadre des séries numériques, que dans . Mais je ne vois pas pourquoi.

[Tryss]

Tu peux étudier la fonction x-sin(x) sur [0,pi/2] pour t'en convaincre. (puis après pour x> pi/2 > 1, la majoration est évidente)

Sinon un autre argument : Sur [0,pi], la fonction est concave (dérivée seconde négative), donc toujours en dessous de sa tangente. Or la droite d'équation y=x est tangente a la courbe en x=0, donc la courbe est en dessous de la droite y=x sur [0,pi]

[Biju]

@Tryss oui j'ai vu finalement merci .
@acx01b, le développement de sinus à l'ordre 3 ne fait pas apparaître 1, donc je ne vois comment on obtient ln(1+X)...

[Tryss]

@acx01b, le développement de sinus à l'ordre 3 ne fait pas apparaître 1, donc je ne vois comment on obtient ln(1+X)...

Le développement du sinus est multiplié par n

[Biju]

Ah oui mince... Donc du coup, on peut écrire ? Comme on sait que converge, la série initiale converge non?

[acx01b]

je te dis comment je la vois la dernière :

donc
donc
mais est une forme indéterminée et ne permet pas de conclure (*),
donc on recommence avec un DL d'ordre plus élevé :

donc ...

(*) on se comprend, série d'un truc qui vaut à peu près 0

[ansset]

on peut compléter.
n*sin(1/n) eq à 1-1/6n² et tu es ramené à une somme du type de la seconde que tu as traité
et qui est donc convergente car du même type que sigma(1/n²)

[Biju]

Merci à tous .