Suites extraites non majorées

[inviteaf7e4316]

Bonsoir,

Vrai ou Faux?
1) (u_n) tend vers +∞ si et seulement si aucune suite extraite de (u_n) n'est majorée

2) Si les suites extraites (u_2k) et (u_2k+1) ne sont pas majorées, alors (u_n) tend vers +∞.


J'ai répondu par vrai pour les 2 propositions, mais les réponses sont: 1) Vrai 2) FAUX.
Quelqu'un pourrait me clarifier pourquoi la 2ème proposition est fausse ?

Merci d'avance!!
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[invite936c567e]

Bonsoir

Un contre-exemple permet de dire pourquoi c'est faux.

Considérons :

u_2k = u_2k+1 = (-1)^k·k

Ni (u_2k) ni (u_2k+1) ne sont majorées, pourtant (u_n) ne tend pas vers +∞.

[inviteaf7e4316]

Mais si u_k = (-1)^k·k

Alors u_2k+1 = (-1)^2k+1·(2k+1) = -(2k+1) = -2k-1 donc u_2k+1 est décroissante et donc majorée !?

[invite8133ced9]

Bonsoir,

Cette suite est effectivement majorée par .

Considère la suite telle que si divise , sinon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

@jojo
tu cites un exemple.
mais il suffit d'un contre exemple ( voir le mess de PA5CAL ) pour dire que l'affirmation n'est pas vraie ( pas obligatoirement ).

[invite936c567e]

Mais si u_k = (-1)^k·k

Alors u_2k+1 = (-1)^2k+1·(2k+1) = -(2k+1) = -2k-1 donc u_2k+1 est décroissante et donc majorée !?

Que vient faire ici la suite u_k = (-1)^k·k ? Ce n'est pas ce que j'ai indiqué, relis ma réponse.

Ma suite extraite u_2k+1 = (-1)^k·k n'est ni décroissante ni majorée, puisque pour tout k aussi grand que voulu, on trouvera toujours un j>k tel que u_2j+1 = j.

[inviteaf7e4316]

Ahh donc on choisit nos propres sous-suites,
u_2k = u_2k+1 = (-1)^k·k, on a donc:
u0 = u1 = 0
u2 = u3 = -1
u4 = u5 = 2
u6 = u7 = -3

C'est une sorte d'oscillations de différentes amplitudes entre valeurs positives et négatives, et donc pas de limite = +∞.

Mercii pour l'aide

[breukin]

Suppression, je pensais qu'on parlait du 1 !

[invite51d17075]

Ahh donc on choisit nos propres sous-suites,

bonjour, et pardon d'y revenir, mais c'est pour pointer un aspect logique.
ce n'est pas qu'on "choisit", le mot est lui mal choisi .
la proposition est
A =>B
Or , il existe au moins un A et non B, donc la proposition est fausse.
cordialement