PROBABILITE Équipartition. Loi des grands nombres.

[invite7196870b]

Bonjour à tous,
Bien que je travaille plutôt dans le domaine de l'écriture, j'ai du m'initier depuis peu aux mathématiques en général, probabilités plus précisément. J'ai donc penser à vous rejoindre pour progresser et récolter quelques conseils. Je réfléchis en ce moment sur les problèmes d'écarts dans la distribution d'une suite aléatoire, écart médian, équipartition, retour l'équipartition etc... dans le cadre de la loi des grands nombres.
Je vous pose donc le problème :
Prenons le jeu de pile ou face, on sait calculer la probabilité de l'équipartition à la fin d'une partie d'un nombre quelconque de coups. Par exemple, dans une partie de 100 coups de pile ou face, on constatera en moyenne 48 piles contre 52 faces. Il n'y a pas équipartition ( 50 piles et 50 faces ) au bout des 100 coups, et c'est normal. L'équipartition est possible mais très rare, (sa probabilité peut se calculer) et plus le nombre de coups est élevé, 10.000 coups par exemple. plus l'équipartition en fin de partie est difficile à obtenir, la probabilité d'une équipartition en fin de partie d'un très grand nombre de coups est très faible.
Ceci dit, ce qui m'intéresse, c'est le retour à l'équilibre en COURS de partie, avant que la suite aléatoire de pile et face tombe dans le déséquilibre à la fin de la partie. ( Ces retours à l'équilibre en cours de partie se nomment aussi Retours au zéro ou Retours Intercurrents )
Par exemple, sur une suite aléatoire de 100 coups qui se distribue en 48 pile et 52 faces en moyenne, on constatera, toujours en moyenne, 7 retours à l'équilibre au cours des 100 coups avant de tomber dans le déséquilibre en fin de partie.
J'ai un tableau sur un document de probabilités qui m'indique plusieurs valeurs de retours à l'équilibre EN COURS DE PARTIE :
Une partie de 4 coups donne 0,8750 retours à l'équilibre.
Une partie de 6 coups donne 1,1875 retours au zéro.
En 10 coups, partie de 10 coups, on trouve 1,707 retours et en 100 coups, 7 retours au zéro en cours de partie.
J'aimerais bien savoir par quelles formules on passe pour calculer ces retours à l'équilibre en cours de partie, et pour conclure, et c'est là l'essentiel de ma question : Comment calculer la probabilité d'AUCUN RETOUR au zéro en cours de partie dans les courtes parties de 30, 50 et 100 coups au jeu de pile ou face.
Voilà, en espérant une suite à mon appel, Meilleurs voeux à tous.
atmouni.
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[acx01b]

Une partie de 4 coups donne 0,8750 retours à l'équilibre,

tu pourrais expliquer ce que ça signifie ?

J'aimerais bien savoir par quelles formules on passe pour calculer ces retours à l'équilibre en cours de partie

pour 4 lancés, ça devrait aller tout seul une fois que tu as formulé ce qu'on veut calculer

[invite179e6258]

je te conseille de lire le Que sais-je de Paul Deheuvels sur les probabilités. Il traite en détail des suites de pile ou face.

[Médiat]

tu pourrais expliquer ce que ça signifie ?

Bonsoir,

C'est l'espérance mathématique de la variable X = nombre de fois où on a obtenu k piles et k faces lors des 2k premiers lancers sur un total de n lancers

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Attention aussi à l'usage du mot "moyenne" : "Par exemple, dans une partie de 100 coups de pile ou face, on constatera en moyenne 48 piles contre 52 faces."
Il ne s'agit pas d'une moyenne, mais d'un total final. Sur une seule partie, il n'y a pas de moyenne, et la "moyenne" des pile (on l'appelle plutôt proportion) est 0,52 =52/100.

En probabilités, le mot moyenne a un sens précis, technique.

Par exemple, sur un grand nombre de parties de pile ou fac avec une pièce bien équilibrée on constatera en moyenne 50 pile et 50 faces. Même si dans aucune partie ce n'est arrivé (peu probable).

A noter : la probabilité de l'équirépartition au bout de 100 lancers n'est pas si faible que cela, c'est environ 0,08, soit en gros une chance sur 12.

Cordialement.

[acx01b]

moi je trouve ça :

on cherche le nombre A_n de suites S_n de 1,-1 de longueur n dont la somme des termes est 0
une suite S_n est soit de la forme 1,S_{n-2},-1 soit de la forme -1,S_{n-2},1, elle ne peut pas être des deux formes,
donc A_n = 2 A_{n-2}
comme A_2 = 2 on trouve A_{2n} = 2^n

comme le nombre de suites de 1,-1 de longueur n est B_n = 2^n,

on a que la probabilité en jouant à pile ou face d'être à l'équilibre au 2n ième tour = 2^{-n}

[gg0]

Pour ma part, j'ai calculé la probabilité que sur 100 lancers on ait 50 piles (ce qui donne aussi 50 faces).

Cordialement.

[Médiat]

Bonsoir,

Je ne comprends pas pourquoi la suite 1, -1, -1, 1 ne conviendrait pas (et de toute façon, ce n'est pas la question)

[invite179e6258]

pour répondre à la question posée, la suite des retours à l'équilibre (la suite des indices des lancers où il y a équilibre) forme un processus de renouvellement (renewal process). Il suffit de calculer l'espérance du premier retour à l'équilibre, notons-la X. L'espérance du nombre de retours à l'équilibre en N lancers est asymptotiquement N/X

[invite7196870b]

Merci pour les réponses, j'y reviens demain pour commenter. Bonne nuit.
atmouni.

[invite7196870b]

Ok, merci, je vais consulter ce QSJ ?.
atmouni.

[invite7196870b]

Salut
Pour répondre à ta question, je lisais un vieux bouquin de Marcel Boll qui traite de proba. en se basant sur le jeu de pile ou face et je cite : " Il est plus intéressant de considérer le nombre des retours à l'équilibre en cours de partie ( dernier coup non compris ).
Le calcul ( c'est ce calcul que je recherchais ) conduit au tableau suivant, qui donne le nombre MOYEN que l'on constaterait expérimentalement, si l'on jouait un grand nombre de chacune de ces parties. Les nombres fractionnaires ont une signification évidente : ainsi le nombre 0,875 indique qu'en moyenne, il y aura sept retours à l'équilibre toutes les huit parties. "

Nombre des coups dans la partie Nombre moyen des retours au zéro en cours de partie

2 0,5000

4 0, 8750

6 1,1875

10 1,707

20 2,700

50 4,726

100 6,028

200 10,32

500 16,87

1000 24,25

10 000 78,79

100 000 251,,2

1 000 000 796,9
atmouni.

[invite7196870b]

Salut, ma question est quasi résolue et pour info. j'avais trouvé ça :
" il est même assez facile de montrer que la probabilité d'avoir une différence nulle (pour un nombre pair de tirages) tend vers zéro quand le nombre de tirages augmente. Pour information cette proba est :
(2n) . 1
n ____
2n
2
atmouni.

Avec Latex cela donne :

[invite7196870b]

Oui c'est bien ça, c'est ce que dit Médiat aussi : " C'est l'espérance mathématique de la variable X = nombre de fois où on a obtenu k piles et k faces lors des 2k premiers lancers sur un total de n lancers "
Merci à vous, je vais mieux comprendre maintenant.
atmouni.

[invite179e6258]

Le calcul ( c'est ce calcul que je recherchais ) conduit au tableau suivant, qui donne le nombre MOYEN que l'on constaterait expérimentalement, si l'on jouait un grand nombre de chacune de ces parties. Les nombres fractionnaires ont une signification évidente : ainsi le nombre 0,875 indique qu'en moyenne, il y aura sept retours à l'équilibre toutes les huit parties. "

Nombre des coups dans la partie Nombre moyen des retours au zéro en cours de partie

2 0,5000

4 0, 8750

(...)

100 000 251,,2

1 000 000 796,9

quand j'ai vu que le nombre moyen de retours à l'équilibre n'était pas une fonction linéaire du nombre de lancers, j'ai d'abord pensé que tu t'étais tompé, puisque ça semblait contredire le théorème que je citais, puis j'ai essayé de calculer l'espérance du temps avant le premier retour à l'équilibre (ce que j'appelais X) et j'ai constaté qu'elle était infinie. Donc il n'y a pas de contradiction.