autour des séries

[invitea1d3a10a]

bonjour tout le monde! jj voulais que vous me répondez à cette qst : quand est ce qu'on a l'équivalence entre : la serie de U_2n et U_2n+1 cv alors laserie des U_n cv ? dans le cas général la réciproque tombe en défaut
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[gg0]

Bonjour.

Je suppose qu'il s'agit d'obtenir des conditions sur u pour avoir l'équivalence entre :
1) et convergent
2) converge.

Le passage de 1 à 2 ne pose pas de problème puisque une somme partielle de la série totale est la somme de sommes patrtielles des deux sous-séries.
Par contre, pour 2 ==> 1, il est facile de voir que c'est faux, par exemple pour la série harmonique alternée. D'où immédiatement, une condition suffisante pour avoir 2 ==> 1 : prendre une série à termes tous de même signe (au moins pour n assez grand). Ce n'est pas une condition nécessaire comme le montre l'exemple de .
Je ne pense pas qu'on puisse trouver une CNS sur u pour que l'on ait 1<==>2.

Cordialement.

[invitea1d3a10a]

oui je suis convaincus que le 1==> 2 est clair.merci,, ,ce que je cherche c'est la réciproque,,,,ça changera rien si cette série était à termes positifs?
merci d'avance de me répondre

[gg0]

Je t'ai déjà répondu à propos des séries à termes positifs.

D'autre part, ma réponse est déjà plus longue que tes deux questions, qui sont difficiles à comprendre. Si tu veux en savoir plus, rédige de façon claire : ",ça changera rien si ..." est déjà limite quand on discute de vive voix, mais à l'écrit montre un manque de bonne volonté de communiquer.
Si tu n'es pas capable d'écrire clairement tes questions, c'est que tu ne comprends pas vraiment de quoi tu parles !

Cordialement.

"Ce qui se conçoit bien s'exprime clairement
et les mots pour le dire viennent aisément" Nicolas Boileau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea1d3a10a]

je m'excuse,, j'étais pas clair et j'ai mal poser la question, le contre exemple de le 2==> 1 est un exemple des séries alternées .voila ce que je trouve :

si j'ai une série de fonction images.jpg , pour tout n de IN images (1).jpg que je suppose convergente
je dois montrer que la série des U_2n+1 converge : pour ce faire je vais majorer sa suite des sommes partielles puisque elle à termes positifs
la somme de k=0 jusqu'à k=n des U_2n est inférieur à la somme de k=0 jusqu'à k=n des U_n (on somme plus de termes pour U_n : les pairs et les impaires)

j'en déduis alors que la suite des sommes partielles de la série des U_2n+1 cv donc la série cv
je m'excuse encore.

[invitea1d3a10a]

je crois que j'étais pas encore suffisamment claire,,
j'ai essayé de montrer que la suite des sommes partielles de la série des U_2n est bornée en exploitant le fait que la série des U_n cv ==> sa suite des sommes partielles sera bornée
l'autre série des U_2n+1 je la montre de la même façon

[gg0]

Effectivement,

si c'est une série à termes positifs, la somme partielle des u_2n est bornée par la somme de la série, d'où sa convergence; idem pour la série des u_2n+1. mais alors c'est aussi le cas pour une série à termes négatifs. et plus généralement, pour toute série absolument convergente.

Par contre, il existe des séries alternées pour lesquelles la série des u_2n converge, ainsi que la série des u_2n+1.

Cordialement.

NB : Quand tu penses à une méthode de preuve, fais la preuve. Tu verras bien si la preuve fonctionne. Bien sûr, en la rédigeant, tu vérifie qu'à chaque étape tu es en train d'appliquer une règle mathématique ou logique claire et précise.

[acx01b]

et convergent

c'est équivalent à et convergent

[gg0]

Bonsoir Acx01b.

Unb peu succinct, ton message. j'ai eu du mal à comprendre pourquoi tu l'écrivais. Il serait peut-être bon d'expliquer à Mpétudiante ce que tu voulais dire.
En particulier, il n'y a équivalence qu'entre les couples de propriétés de convergence. Donc ta propriété est inapplicable à une série alternée semi-convergente (*).

Cordialement.

(*) pour laquelle, évidemment et ne convergent pas.

[acx01b]

oui ce sont des "et" logiques !

je pensais que ça pourrait être la réponse qu'un prof attendrait pour la question :

quelle est la propriété P pour que cette équivalence soit vraie
et convergent <=> converge et

[acx01b]

et (c'est hors sujet mais l'exo m'y a fait penser)
j'ai l'impression que converge

c'est équivalent à pour tout k,m les convergent et sont toutes majorées en module par un même majorant

[gg0]

Heu ...

le sens direct est évident et la réciproque encore plus (prendre k=1 et m=0).

Cordialement.

Edit : Ah! non. Je me suis planté pour la réciproque.

[invitea1d3a10a]

je vois bien ce que vous êtes entrain de dire,, je vous remercie beaucoup. à bientôt

[inviteea028771]

et (c'est hors sujet mais l'exo m'y a fait penser)
j'ai l'impression que converge

c'est équivalent à pour tout k,m les convergent et sont toutes majorées en module par un même majorant

Je ne suis pas sur, par exemple, la série (et 0 pour les autres termes) ne vérifie elle pas le second critère sans être absolument cv?