Bonjour,
je connais le théorème de Rolle, mais mon prof utilise une formule de ce théorème pour démontrer le théorème des accroissement finis qui est la suivante ;
Et j'ai beau chercher je ne trouve pas du tout d'où viens cette formule, je reconnais bien la fraction qui est la définition de la dérivé, mais je ne vois pas du tout d'où cela viens.
Merci d'avance pour votre aide et votre attention.
Bonjour,
Il me sembre que c'est juste une méthode afin de prouver le théorème , d'ailleurs il n'y a pas unicité de la fonction
Notre prof avait utilisé une fonction légèrement différente , dans les bouquins je trouve une autre formule pas trop différente
Mais l'idée RESTE Toujours la même , C'est D'appliquer le théorème de rolle pour démontrer L'EAF.
Du coup t'as qu'à la mémoriser
Bonjour,
La fraction qui apparaît dans l'expression n'est pas la définition de la dérivée de f. C'est le taux de variation de f entre les réels a et b. L'équation de la corde sur f reliant les points (a, f(a)) et (b, f(b)) est :
Tu peux donc considérer que g te donne surl'erreur qui est faite en considérant que f est linéaire entre a et b.
Dernière modification par Tiky ; 19/01/2014 à 17h25.
On a posé cette fonction g de façon arbitraire.
L'idée, c'est qu'on a alors une fonction qui vérifie g(a) = g(b), et dont la dérivée quand elle s'annule redonne la formule des accroissements finis.
Cette formule peut paraitre sortir un peu du chapeau, mais c'est plus compréhensible en raisonnant "à l'envers"
On cherche une fonction g qui nous redonne le théorème des accroissements finis quand sa dérivée est nulle :
g'(c) = 0 = f(a)-f(b)+(b-a)f'(c)
On intègre ça :
g(x) = x(f(a)-f(b))+(b-a)f(x)
Et là, on a déjà les bonnes hypothèses, donc on pourrait s’arrêter là :
g(a) = g(b)
On peut bidouiller la fonction g pour lui donner une tête plus agréable, en divisant par b-a puis en ajoutant des constantes pour arriver à ta formule
Ce qui est le principal intérêt de cette écritureTu peux donc considérer que g te donne sur l'erreur qui est faite en considérant que f est linéaire entre a et b.
bonjour,
Tout d'abord merci pour vos réponse.
Tiky c'est ce que je pensais quand j'ai dit dérivé car si je suis bien mon cours on a lim quand x=>h
Tryss
Je ne comprend pas trop quand tu intègre g'(c)=0=f(a)-f(b)+(b-a)f'(c)
Que représente le x qui est en facteur de (f(a)-f(b))?
Mais sinon cette formule viens juste d'un choix arbitraire pour arriver au théorème des accroissement finis ?
Je primitive par rapport à la variable c que je renomme xEnvoyé par tildrum
Oui, ça n'était pas très clair.
Donc la primitive d'une constante (f(a)-f(b)), c'est la fonction h(x) = (f(a)-f(b))x
Oui, c'est un peu le principe d'un certain nombre de démonstrations : appliquer un théorème connu a la bonne fonctionMais sinon cette formule viens juste d'un choix arbitraire pour arriver au théorème des accroissement finis ?
Parfois c'est assez naturel (comme ici), d'autre fois c'est très astucieux
Je comprend mieux pourquoi les math ne sont qu'un jeu d'enfant pour certains ...
Merci beaucoup pour le détail et le temps que tu a pris pour me répondre bonne soiré !
