Sous espace vectoriel supplémentaires

[invitec18871ef]

Bonjour tout le monde,

quelle joie de pouvoir poser ses questions depuis chez soi!
Surtout quand on passe en colle le lundi et que nous n'avons aucun prof à qui poser sa question. Internet et complet, google et mon amis, mais parfois les profs vont un peu à l'encontre du sens commun et dans ces cas là il est plus difficile de trouver des réponses satisfaisantes.

J'ai du mal avec un passage de la démonstration de l'équivalence entre
C'est quand, de part la supplémentarité de et je dois montrer que .

Voici le passage mentionné :

Supposons et en somme directe. Soit .
Alors s'écrit comme somme des composantes des couples et appartenant à .
D'après la proposition précédente (écriture unique d'un vecteur appartenant à la somme directe des comme somme de vecteur des ),
l'hypothèse de somme directe impose , donc .
Comme , on trouve .

Je peux aussi passer par la double inclusion pour trouver ce résultat, c'est ce que j'ai fait sur ma copie.
J'aimerais bien comprendre cette démonstration, je ne comprend pas trop l'utilisation des des couples ici. Je crois que c'est simplement une notation, mais j'ai du mal à la saisir dans ce cas là. D'un coté on a un élément x appartenant à l'intersection et de l'autre une somme de couples avec x en composantes, mais si on somme les deux on obtient non? ()
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[gg0]

Bonjour.

Attention, ce n'est pas mais . C'est d'ailleurs ce que tu prouves par la suite.

La preuve que tu cites est effectivement un peu compliquée par l'intervention des couples. On peut raisonner plus directement en écrivant x=x+0 avec x dans A et 0 dans B et x=0+x avec 0 dans A et x dans B. Par unicité de la décomposition (donc du terme qui est dans A, x=0.

La preuve que tu cites traduit l'unicité par "si a+b=c+d avec a et c dans A et b et d dans B, alors (a,b)=(c,d)". Et (a,b)=(c,d) traduit en une seule égalité les égalités a=c et b=d.

Cordialement.

[invitec18871ef]

Il y a encore une chose que je n'arrive pas à cerné,
on a donc x + 0 = 0 + x, ok, mais puisque + est commutative il y a surtout 0 = 0 et x = x qui est naturel, x pourrait être différent de 0 mais l'égalité serait toujours vrai...

[gg0]

Ici, la commutativité est utilisée; mais le raisonnement est écrit, tu ne l'as pas vraiment lu. Ce n'est pas seulement x+0=0+x qui est écrit. Relis !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec18871ef]

OKAAY!

Je venais juste de comprendre!
C'est très clair maintenant!

Je comprend mieux l'utilisation des couples, on à une égalité et on procède ensuite par identification.

Je t'avais bien relu mais j'ai du mal à me concentrer car je suis fatigué il a fallu que je réessaye plusieurs fois avant de comprendre.
Je vais avoir une bonne note à ma colle!
Merci gg0!

[gg0]

Prends le temps de bien dormir, d'ici là !