Bonsoir,
Soient a et b deux entiers quelconques.
Vrai ou Faux ?
1) Si a divise b, alors pgcd(a, b) = a.
2) Si un nombre divise ppcm(a, b), alors il divise a ou b.
3) Si b = pgcd(a, b) × a alors b = a2
4) Si a2 = pgcd(a, b) × b, alors a2 = b.
5) Si ppcm(a, b) × a divise ab alors b = 1
Bon pour le 1, je suis sur que c'est correct.
Pour le 2, c'est faux on peut prendre le ppcm(a,b) comme étant ce nombre qui divise ppcm(a,b)
Mais pour le reste je bloque...
Merci pour toute aide!
Pour le 3) :
Si b = pgcd (a,b) * a alors a est un diviseur de b donc pgcd(a,b) = a
et donc (suite ) b = a2 dans le cas 3)
4/
Faux.
contre-exemple a=b
5/ faux . contre exemple idem a=b.
Faut-il que a et b soient différents?
Ahh je vois!! Merci beaucoup
Je ne pense pas, l’hypothèse ne le précise pas, on a juste: "Soient a et b deux entiers quelconques"
D'ailleurs la proposition 4 peut être remplacée par:
4) Si a2 = pgcd(a, b) × b, alors a = b.
En effet soient a' et b' tels que
b = b' * pgcd(a,b)
a=a' * pgcd(a,b)
Avec, forcément : pgcd(a',b') = 1
La condition a2 = pgcd(a, b) × b devient, en substituant : pgcd(a,b)2 a'2 = pgcd(a, b) × pgcd(a,b)×b'
Et comme pgcd(a,b) non nul : a'2=b'
donc a' divise b'. Or a' et b' sont premier entre eux, donc (a' divise b') n'est possible que si a'=1.
D'où b' = a'2=1
Et ainsi a=b
Et aussi la proposition 5 peut être remplacée par:
5) Si ppcm(a, b) × a divise ab, alors a divise b.
En effet par hypothèse ab= k * ppcm(a,b)*a
Et ab = pgcd(a,b) * ppcm(a,b)
Donc on peut écrire pgcd(a,b) = k*a
d'où a = pgcd(a,b) CQFD
