Pgcd, ppcm

[invite489d2c5c]

Bonjour, petite aide s'il vous plait.

1) On considère l'équation (E) : 9x-14y=1
a- Justifier l'existence d'une solution (x;y) de l'équation (E), avec x et y entiers.
b- Déterminer une solution entière (xo;yo) de l'équation (E)
c- En déduire l'ensemble des solutions entières de l'équation (E).

2) On considère l'équation (E') : 9x-14y=13
a- Déterminer une solution entière (x1;y1) de l'équation (E')
b- Déterminer l'ensemble des solutions entières de l'équation (E')

3) Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels (a;b) qui vérifient la relation : 9 X ppcm (a,b) -14 X pgcd(a,b) = 13

Merci de votre aide !
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[pallas]

voir identité de bezout

[invite489d2c5c]

Comment avec bezout ?

[invite51d17075]

pas sur que ce soit vu au lycée !
alors je le fait un peu bourin !
9x-14y=1 soit 14y+1=9x donc multiple de 3 ( j'ai dit bourin )
14y+1=3a
d'ou
y (=) 1 mod(3)
y=1+3a
x=(14y+1)/9
x=(14+3*14a+1)/9 = (15+42a)/9
x=(5+14a)/3
or 5 (=) 2 mod(3)
donc il faut 14a (=) 1 mod (3)

ex: a=2
14*2= 28 =27+1
d'ou x=(5+28)/3=11
et y=7

j'avais promis bourrin ....... ou bezourin !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite489d2c5c]

Je n'ai pas tous compris ..

[invite51d17075]

dis moi ou ça coince.
de mon coté, j'ai pris deux fois un a , mais ce ne sont pas les mêmes.
enfin, il y a certainement plus facile avec les pgcd et ppcm !

[invite489d2c5c]

Question 1-b

[invite03f2c9c5]

1) On considère l'équation (E) : 9x-14y=1
a- Justifier l'existence d'une solution (x;y) de l'équation (E), avec x et y entiers.
b- Déterminer une solution entière (xo;yo) de l'équation (E)
c- En déduire l'ensemble des solutions entières de l'équation (E).

Bonjour, c’est un des exercices d’arithmétique les plus classiques, n’as-tu jamais fait d’exercice de ce genre, consistant à résoudre une équation du genre ax+by=c ? Sinon, la méthode est de toute façon certainement détaillée quelque part dans ton manuel… Pour donner quelques indications.

• a- c’est du cours (théorème de Bezout) ;
• b- remonter les calculs de l’algorithme d’Euclide pour obtenir les coefficients de l’égalité de Bezout (algorithme d’Euclide étendu) ;
• c- écrire et appliquer le théorème de Gauss.

Pas évident la première fois, mais si classique et toujours pareil, un exercice type au baccalauréat quoi.

[invite489d2c5c]

Je n'arrive pas a remonter l'algorithme.

[invite489d2c5c]

Quelqu'un pour m'aider s'il vous plait ?

[invite3cc91bf8]

Je vais te répondre avec un exemple : identifier un couple solution de l'identité de Bézout suivante :
J'applique l’algorithme d'Euclide (ici, j'ai simplifié) :

On remonte l'algorythme en procédant ainsi :
- on isole le PGCD :

- on peut remplacer par une expression trouvée à la ligne 2 :

- on peut remplacer par une expression trouvée à la ligne 1 :

On a donc bien trouvé une expression de la forme . Mission accomplie !

[invite3cc91bf8]

Je te fais un exemple (désolé du double post) : trouver un couple solution de 19×a-23×b=1 sur ^​2

- on pose l'algorithme d'Euclide :

23 = 19 × 1 + 4
19 = 4 × 4 + 3
4 = 3 × 1 + 1
3 = 1 × 3 + 0

- on constate que pgcd(23,19)=1, donc on est en présence de l'identité de Bézout.

- on cherche un couple solution en remontant l'algorithme :

1 = 4 - 3
1 = 4 - (19 - 4 × 4)
1 = -19 + 4 × ( 4 + 1 )
1 = -19 + 4 × 5
1 = -19 + ( 23 - 19 ) × 5
1 = 23 × 5 + 19 × ( -1 - 5 )
1 = 23 × 5 - 19 × 6

donc ( 5 , -6 ) est un couple solution. Exercice résolu.

[invite489d2c5c]

Je sais le faire avec d'autre , mais ici je bloque a la derniere ligne a cause des moins :/

[invite489d2c5c]

1=95-4*1
=5*1-(9-5*1)*1
=5*2-9*1
=2*(14-9*1)-9*1
=2*14-9*3

Et la pour mettre de la forme 9x-14y =1 je n'y arrive pas

[invite3cc91bf8]

Tu es pourtant si proche : souviens-toi que (-) × (-) = (+).
2 × 14 - 9 × 3 = - 14 × ( - 2 ) + 9 × ( - 3 ) = 1, d'où le couple solution ( -3 , -2 ) solution.

[invite489d2c5c]

Ah oui ! Merci beaucoup !

Et comment dois je faire pour la question n°2 ?

[invite3cc91bf8]

Il suffit de partir de l'équation initiale (E), que tu multiplies par 13 : tu trouves donc un couple solution de la forme .

[invite489d2c5c]

Je multiplie donc (-3,-2) par 13 ? donc (x1,y1) = ( -39 , -26 ) ?

[invite3cc91bf8]

Et on trouve bien 9 × (-39) - 14 × ( -26 ) = - 351 + 364 = 13

[invite489d2c5c]

Et pour l'ensemble des solutions je le justifie comment ? Car pour des nombres premier entre eux, je sais le justifier, je faisais, si (x,y) est solution ... et la réciproque..

[invite489d2c5c]

L'ensemble des slution de (E') sont : (-39+14k;-26+9k)

Par conte pour le ppcm je ne l'ai pas encore étudié donc si vous pouviez m'aider..

[invite489d2c5c]

Quelqu'un pour la derniére question s'il vous plait ?