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Pgcd, ppcm



  1. #1
    zoultaka

    Pgcd, ppcm


    ------

    Bonjour, petite aide s'il vous plait.

    1) On considère l'équation (E) : 9x-14y=1
    a- Justifier l'existence d'une solution (x;y) de l'équation (E), avec x et y entiers.
    b- Déterminer une solution entière (xo;yo) de l'équation (E)
    c- En déduire l'ensemble des solutions entières de l'équation (E).

    2) On considère l'équation (E') : 9x-14y=13
    a- Déterminer une solution entière (x1;y1) de l'équation (E')
    b- Déterminer l'ensemble des solutions entières de l'équation (E')

    3) Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels (a;b) qui vérifient la relation : 9 X ppcm (a,b) -14 X pgcd(a,b) = 13

    Merci de votre aide !

    -----

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  3. #2
    pallas

    Re : Pgcd, ppcm

    voir identité de bezout

  4. #3
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Comment avec bezout ?

  5. #4
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Pgcd, ppcm

    pas sur que ce soit vu au lycée !
    alors je le fait un peu bourin !
    9x-14y=1 soit 14y+1=9x donc multiple de 3 ( j'ai dit bourin )
    14y+1=3a
    d'ou
    y (=) 1 mod(3)
    y=1+3a
    x=(14y+1)/9
    x=(14+3*14a+1)/9 = (15+42a)/9
    x=(5+14a)/3
    or 5 (=) 2 mod(3)
    donc il faut 14a (=) 1 mod (3)

    ex: a=2
    14*2= 28 =27+1
    d'ou x=(5+28)/3=11
    et y=7

    j'avais promis bourrin ....... ou bezourin !!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Je n'ai pas tous compris ..

  8. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Pgcd, ppcm

    dis moi ou ça coince.
    de mon coté, j'ai pris deux fois un a , mais ce ne sont pas les mêmes.
    enfin, il y a certainement plus facile avec les pgcd et ppcm !

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  10. #7
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Question 1-b

  11. #8
    DSCH

    Re : Pgcd, ppcm

    Citation Envoyé par zoultaka Voir le message

    1) On considère l'équation (E) : 9x-14y=1
    a- Justifier l'existence d'une solution (x;y) de l'équation (E), avec x et y entiers.
    b- Déterminer une solution entière (xo;yo) de l'équation (E)
    c- En déduire l'ensemble des solutions entières de l'équation (E).
    Bonjour, c’est un des exercices d’arithmétique les plus classiques, n’as-tu jamais fait d’exercice de ce genre, consistant à résoudre une équation du genre ax+by=c ? Sinon, la méthode est de toute façon certainement détaillée quelque part dans ton manuel… Pour donner quelques indications.
    • a- c’est du cours (théorème de Bezout) ;
    • b- remonter les calculs de l’algorithme d’Euclide pour obtenir les coefficients de l’égalité de Bezout (algorithme d’Euclide étendu) ;
    • c- écrire et appliquer le théorème de Gauss.

    Pas évident la première fois, mais si classique et toujours pareil, un exercice type au baccalauréat quoi.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  12. #9
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Je n'arrive pas a remonter l'algorithme.

  13. #10
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Quelqu'un pour m'aider s'il vous plait ?

  14. #11
    RuBisCO

    Re : Pgcd, ppcm

    Je vais te répondre avec un exemple : identifier un couple solution de l'identité de Bézout suivante :
    J'applique l’algorithme d'Euclide (ici, j'ai simplifié) :

    On remonte l'algorythme en procédant ainsi :
    - on isole le PGCD :


    - on peut remplacer par une expression trouvée à la ligne 2 :



    - on peut remplacer par une expression trouvée à la ligne 1 :


    On a donc bien trouvé une expression de la forme . Mission accomplie !
    "La vraie science est une ignorance qui se sait." (Montaigne)

  15. #12
    RuBisCO

    Re : Pgcd, ppcm

    Je te fais un exemple (désolé du double post) : trouver un couple solution de 19×a-23×b=1 sur ​2

    - on pose l'algorithme d'Euclide :
    23 = 19 × 1 + 4
    19 = 4 × 4 + 3
    4 = 3 × 1 + 1
    3 = 1 × 3 + 0

    - on constate que pgcd(23,19)=1, donc on est en présence de l'identité de Bézout.

    - on cherche un couple solution en remontant l'algorithme :
    1 = 4 - 3
    1 = 4 - (19 - 4 × 4)
    1 = -19 + 4 × ( 4 + 1 )
    1 = -19 + 4 × 5
    1 = -19 + ( 23 - 19 ) × 5
    1 = 23 × 5 + 19 × ( -1 - 5 )
    1 = 23 × 5 - 19 × 6
    donc ( 5 , -6 ) est un couple solution. Exercice résolu.
    Dernière modification par RuBisCO ; 04/12/2011 à 00h01.
    "La vraie science est une ignorance qui se sait." (Montaigne)

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  17. #13
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Je sais le faire avec d'autre , mais ici je bloque a la derniere ligne a cause des moins :/

  18. #14
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    1=95-4*1
    =5*1-(9-5*1)*1
    =5*2-9*1
    =2*(14-9*1)-9*1
    =2*14-9*3

    Et la pour mettre de la forme 9x-14y =1 je n'y arrive pas

  19. #15
    RuBisCO

    Re : Pgcd, ppcm

    Tu es pourtant si proche : souviens-toi que (-) × (-) = (+).
    2 × 14 - 9 × 3 = - 14 × ( - 2 ) + 9 × ( - 3 ) = 1, d'où le couple solution ( -3 , -2 ) solution.
    "La vraie science est une ignorance qui se sait." (Montaigne)

  20. #16
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Ah oui ! Merci beaucoup !

    Et comment dois je faire pour la question n°2 ?

  21. #17
    RuBisCO

    Re : Pgcd, ppcm

    Il suffit de partir de l'équation initiale (E), que tu multiplies par 13 : tu trouves donc un couple solution de la forme .
    "La vraie science est une ignorance qui se sait." (Montaigne)

  22. #18
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Je multiplie donc (-3,-2) par 13 ? donc (x1,y1) = ( -39 , -26 ) ?

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  24. #19
    RuBisCO

    Re : Pgcd, ppcm

    Et on trouve bien 9 × (-39) - 14 × ( -26 ) = - 351 + 364 = 13
    "La vraie science est une ignorance qui se sait." (Montaigne)

  25. #20
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Et pour l'ensemble des solutions je le justifie comment ? Car pour des nombres premier entre eux, je sais le justifier, je faisais, si (x,y) est solution ... et la réciproque..

  26. #21
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    L'ensemble des slution de (E') sont : (-39+14k;-26+9k)

    Par conte pour le ppcm je ne l'ai pas encore étudié donc si vous pouviez m'aider..

  27. #22
    zoultaka

    Re : Pgcd, ppcm

    Quelqu'un pour la derniére question s'il vous plait ?

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