Somme des carrés d'une partition

[invite9617f995]

Bonjour à tous,

Je me suis posé une question sur les partitions d'entiers, et je n'arrive pas trop à avancer.
Si P=(k_1,...,k_q) est une partition de n (k_1+...+k_q=n), on note L(P)=q la "longueur" de la partition et C(P)=k_1²+...+k_q² la somme des carrés de la partition. Est-ce qu'on peut trouver des choses sur le comportement de C(P) avec L(P), notamment des propriétés de décroissance ? Par exemple, si on note A(q) = min {C(P), P partition tq L(P)=q} et B(q) = max {C(P), P partition tq L(P)=q}, est-ce que vous voyez des moyens de comparer A(q) et A(q+1), voire mieux, A(q) avec B(q+1).

Pour idée, on a :
A(n)=B(n)=n
A(n-1)=B(n-1)=n+2
A(n-2)=n+4, B(n-2)=n+6
A(n-3)=n+6, B(n-3)=n+12
...
A(2)=(n-1)²+1, B(2)=n²/2 si n pair et B(2)=(n²+1)/2 si n impair
A(1)B(1)=n^2

Comme ça sur les cas extrêmes, on a l'impression que ça diminue avec q qui augmente (du moins pour n assez grand), mais j'ai du mal à voir ce comportement pour des q moyens.

Sinon, petite question un peu plus facile peut-être (qui était mon point de départ) et qui se résolverait gentiment si on a la décroissance : est-ce que A(q)=n+2 <=> q=n-1.

Voilà, voilà. Si vous avez des éléments de réponses ou des idées de pistes, ça serait cool. Merci d'avance.

Silk
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[interferences]

Bonjour,

Juste pour clarifier un peu les choses tu ne considères que les entiers positifs (N*) c'est ça ?

Au revoir

[invite9617f995]

Oui pardon j'ai oublié de préciser ça : n et les k_i sont des entiers strictement positifs.

[Médiat]

Avec Latex :

Bonjour à tous,

Je me suis posé une question sur les partitions d'entiers, et je n'arrive pas trop à avancer.
Si est une partition de , on note la "longueur" de la partition et la somme des carrés de la partition. Est-ce qu'on peut trouver des choses sur le comportement de avec , notamment des propriétés de décroissance ? Par exemple, si on note et , est-ce que vous voyez des moyens de comparer et , voire mieux, avec .

Pour idée, on a :




...
si n pair et si n impair


Comme ça sur les cas extrêmes, on a l'impression que ça diminue avec qui augmente (du moins pour n assez grand), mais j'ai du mal à voir ce comportement pour des moyens.

Sinon, petite question un peu plus facile peut-être (qui était mon point de départ) et qui se résolverait gentiment si on a la décroissance : est-ce que .

Voilà, voilà. Si vous avez des éléments de réponses ou des idées de pistes, ça serait cool. Merci d'avance.

Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Il me semble que l'on peut démontrer que A est décroissant de façon simple :

Si la partition qui réalise (avec les décroissant) alors
est une partition de le longueur , dont la somme des carrés est inférieure à , donc

[interferences]

Re,

Oui mais il ne faut pas forcément prendre qui peut être égal à 1.
Mais un car
Il y en a forcément au moins 1 qui répond au critère puisque la partition est de longueur strictement inférieure à .

Au revoir

[Médiat]

Oui mais il ne faut pas forcément prendre qui peut être égal à 1.

C'est pourquoi j'ai imposé les 2 conditions k < n et les en ordre décroissant.

De plus pour B(n) la démonstration est encore plus simple (il suffit de regrouper deux termes)

[interferences]

Ah oui mince

[invite9617f995]

Oula je suis vraiment plus capable de rien moi, j'ai honte . Désolé de vous avoir fait perdre du temps, c'était effectivement pas bien dur. D'ailleurs si je me trompe pas, on a A(q)>A(q+1)+1 et B(q)>B(q+1)+1 et c'est même sans doute améliorable (je m'y repencherais quand j'aurais plus de temps).

[Médiat]

Je pense que les formules sont :



Avec un petit truc : le modulo est pris entre 1 et au lieu de 0 et

Je n'ai pas vérifié "à fond".

[Médiat]

Bonjour,

La formule du Min que j'ai donné hier soir, je l'ai obtenu de façon plus ou moins empirique, en voulant formaliser les choses ce matin je suis arrivé à une bien meilleure formule :


Je posterai les démonstrations dans la matinée.

[Médiat]

Soit une partition de en termes :

Note : Toutes les partitions seront écrites en ordre décroissant , et (si , les résultats sont évidents et conformes aux résultats généraux).

Lemme 1 : La partition telle que soit maximale est la partition (notée ) où et
Lemme 2 : La partition telle que soit minimale est la (seule) partition (notée ) où .

Démonstration 1 : Soit une partition différente de , donc , soit la partition définie par


, et donc ne maximalise pas la somme des carrés.

Ici le calcul est facile :
Démonstration 2 : Soit une partition différente de , donc , soit la partition définie par (sous cette forme là la partition n'est pas forcément en ordre décroissant).
et donc ne minimalise pas la somme des carrés.

Pour calculer effectivement la somme des carrés, je note (donc la plus petite valeur) et le nombre de fois ou apparaît, est donc compris entre et , on a donc la première relation :
, ou encore , et comme , on en déduit que , et .

La somme des carrés est égale à , et finalement, en remplaçant :