Problème d'intégrale

[invite08dcdd85]

Bonjour,
Je souhaite calculer , mais je n'arrive pas au bout du calcul.
On m'a dit de passer par un changement de variable puis une IPP, mais je bloque...
Pouvez-vous m'aider ? J'ai essayé avec en vain...
Merci !
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[breukin]

Je ferais d'abord l'IPP, pour dériver le log.

[breukin]

En laissant la borne supérieure variable au début, pour la faire tendre vers 1.
Sans ça, ça marche aussi dans l'autre sens.

Montrez ce qu'a donné votre changement de variable.

[breukin]

Donc par changement de variable, on a :



En intégrant par parties, on a :



Que l'on peut réorganiser en

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite08dcdd85]

Grand merci !
Je n'étais pas loin du bout, mais il me reste des questions :

- dans l'avant dernière ligne, il y a un problème en zéro, non ? entre 0 et a...
Et autre blocage ;

- comment intégrer ? (ça fait des années que j'ai arrêté les maths, il me faut du temps pour tout remettre en place)

Dans mon exercice, il s'agit d'une intégrale généralisée aux deux bornes.
Il faut montrer qu'elle converge, donc on procède en deux étapes : intégration entre x et 1/2 d'une part, puis entre 1/2 et x d'autre part.

Dans le livre, ils disent que les calculs sont laissés au lecteur, mais qu'on doit trouver :
pour la première et
pour la deuxième...

Merci encore pour votre aide !

[invited3a27037]

- comment intégrer ?

Une primitive de est

et il se trouve que

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...e_hyperbolique

[breukin]

En fait, il n'y a pas de problème en 0 à cause des équivalents : .
Donc pour simplifier, j'ai laissé 0 plutôt que trimbaler un epsilon.

Pour l'intégration, on note que

Au final, on doit trouver .

[invite08dcdd85]

Ouf, je touche au but...
J'ai réussi à aller au bout pour la première (limite en zéro)
Et j'y suis presque pour la deuxième (limite en 1),
Sauf que :
à la fin, au moment de prendre la limite en 1, il me reste deux termes :
et dont je ne sais plus calculer la limite en 1...

[breukin]

Il faut regrouper les ln(1-x) d'une part et les ln(1+x) d'autre part, voir mon "que l'on peut réorganiser en".
Ne pas oublier que 1-x² est un produit...

[invite08dcdd85]

D'accord, merci !

Et tend vers zéro en 1 ? On peut le dire comme ça directement ?

[breukin]

Presque, disons que ce qui est connu, c'est que tend vers 0 quand t tend vers 0. Donc mieux faire apparaître ce produit dans votre expression.
D'où ma réorganisation plus haut.

[invite08dcdd85]

J'ai compris !!
Merci beaucoup !

[invite08dcdd85]

Bonjour !

Je suis de nouveau bloquée sur une intégrale :



Je sais qu'elle converge par analogie avec les intégrales de Riemann (équivalence en +inf), mais je n'arrive pas au résultat.
J'ai essayé une IPP pour me débarrasser du numérateur, mais la primitive de la fraction restante est compliquée...
J'ai voulu séparer l'intégrale en trois parties, mais je suis bloquée...

Comment faire ??

[inviteea028771]

Ici il faut décomposer en élément simple. Donc écrire



Il est alors facile d'intégrer cette fonction sur [1,x], puis de faire tendre x vers l'infini

[breukin]

il faut effectivement décomposer en éléments simples :


Ah ensemble, le temps de valider la réponse...

[invite08dcdd85]

Merci !
J'ai trouvé

[invite08dcdd85]

Bonjour !

Une nouvelle petite question : je dois étudier la convergence de



et je voulais la comparer à une intégrale de Riemann, comme la fonction est positive sur [1 ; +inf[

Pour moi, elle est équivalente à ,

mais dans mon livre, ils disent équivalente à

Je ne comprends pas pourquoi ...

[gg0]

Bonjour.

L'énoncé ne porte-t-il pas plutôt sur ?

Cordialement.

[invite08dcdd85]

Non, non, c'est bien l'intégrale que j'ai notée plus bas (sauf erreur du livre, évidemment...) ...

J'ai mis t² en facteur sous la racine puis je l'ai sorti, et je me suis retrouvée avec un t² facteur d'une racine qui tend vers 1 en l'infini au dénominateur...

D'où mon et pas le du livre...

[gg0]

Donc il y a une erreur dans le livre (soit un ² en trop dans l'énoncé, soit une erreur de corrigé).

Cordialement.