Polynomes , racines..

[Isis-mirka]

Bonsoir,
Etant en train de faire des exos, je bloque sur une question, peut etre pourrez-vous m'aider à y répondre.

Soient p et q deux réels.
Soit Q(x)=x^3+px+q
montrer qu'une condititon nécessaire pour que Q admette une racine double est 4p^3+27q^2=0

voila ou j'en suis:
posons r racine double de Q
J'ai écrit Q sous la forme (x-r)²*(ax+b),
j'ai identifié a et b en fonction de r .
mais je n'arrive a faire le lien avec la condition nécessaire dont parle l'exo.

Quelqu'un aurait-il une piste à me donner ?

merci d'avance
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[joel_5632]

bonjour

r est aussi racine de la dérivée

[Isis-mirka]

J'ai essayé de dériver Q et sachant que Q'(r)=0, j'ai obtenu : 3r^2+p=0, mais la encore, je n'arrive pas a faire ressortir cette condition ....car dans tous les ca,s, j'ai du r partout ..
que me conseilleriez vous ?

[breukin]

Je conseillerais de bien poser les deux équations du système :


Pas vraiment difficile de trouver par quoi multiplier la première et par quoi multiplier la seconde pour qu'en soustrayant on enlève les puissances...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

merci pour le conseil.
j'ai trouvé (sauf erreur de calcul) :2pr+3q=0 en multipliant par 3 celle du haut et par r en bas de maniere à enlever les r^3 et r^2.
jai donc une égalité qui ressemblerait à celle demandée, mais j'ai encore du r dedans...comment m'en débarasser ?


merci d'avance

[breukin]

OK pour
J'appelle cela une équation du premier degré en r...

[Isis-mirka]

donc, r=-3q/2p.

je pensais donc réinjecter ce résultat dans la premiere equation que vous mentionniez, mais je ne retombe pas sur le resultat escompté...
qu'en pensez vous ?

[breukin]

Pourquoi avez-vous choisi la première ? Pour faire un peu plus de calculs au risque de se tromper ?
Mais ça marche très bien avec la première.

[Suite2]

Bonjour, je sais bien que je n'aide pas à la résolution de cette question, mais n'est-ce pas un exercice "classique" en théorie de Galois ?

Si on peut utiliser cette théorie pour l'exercice, j'essais d'en faire une résolution au brouillon et de compléter la discussion

[Isis-mirka]

Bonsoir,
j'ai finalement trouvé la solution a démontrer, j'ai fais des erreurs de calculs qui m'avaient envoyé sur un résultat faux.
Je ne connais pas cette de Galois, mais je serais très intéressé d'en savoir plus ...

Merci à tous,
bonne soirée