Dérivées successives

[invite74ea9275]

Bonjour,

J'ai essayé de faire cet exercice mais je n'y arrive pas .

Montrer que la fonction sinus est l'unique fonction indéfiniment dérivable vérifiant ; et .

Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonsoir,

Ce n'est pas vraiment évident : une caractérisation de la fonction sinus.

[invite74ea9275]

Salut,
Merci pour ta réponse. Effectivement, la démonstration fait appel à l'analyse complexe et c'est un peu tordu. J'ai trouvé une démonstration plutôt élégante qui s'appuie sur les coefficients de Fourier, et je la posterai dès que j'aurai un peu du temps.

A bientôt

[inviteea028771]

Heu, si je puis me permettre, la fonction x -> x vérifie aussi ces hypothèses : il doit manquer un truc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5745b990]

Pour un tel exercice je peux proposer de raisonner par l'absurde, même si je suis pas bien sur de cela. Je m'explique, tu supposes qu'il existe une autre fonction qui vérifie cela, et tu arrives à un point où il est impossible de conclure, car le résultat est complètement absurde. Par exemple, tu peux arriver à 0=1, auquel cas tu sais que c'est faux et que donc les autres fonctions seraient fausses.
Je n'ai pas fait le dit raisonnement, car je suis actuellement sur mes cours, mais si besoin est je peux tenter le coup ^^
Sinon pour répondre à Tryss, la fonction y=x ne fonctionne pas, car il est inscrit que pour tout n appartenant à N (donc 0 compris), la dérivée n-ième de f est strictement inférieure à 1 pour tout x appartenant à R, or y=x est la "dérivée zéro" on va dire, et pour x=2, f(x)>1 ^^ Donc x -> x ne vérifie pas les hypothèses de l'énoncé.
Cordialement, Kévin

[inviteea028771]

Ah oui, effectivement, j'avais mal lu l'énoncé

[invite5745b990]

Pas de problème, c'est l'intention qui compte =) Et puis tout le monde peut se tromper à un moment, il vaut mieux maintenant que le jour d'un examen ^^

Sinon pour l'idée des coefficients de fourier j'avouerais que je ne vois pas personnellement.

[invite5161e205]

Les solutions peuvent être de 2 types :
1)-soit f est périodique, avec W=omega
on utilise Fourier , il existe (ak,bk) / f=SOMME(ak.cos(k.W.t)+bk.sin(k .W.t))
(ak)=0 pour tout k car f(0)=0
En dérivant de récurrensive, on a pour tout n |f(0)(2n+1)| = bk.(k.W)^(2.n+1)
il faut : k.W <= 1 sinon on ne peut pas respecter |f(0)(2.n+1)| <= 1
d' autre part |bk|.(k.W)^(2.n+1) <=1 donc
bk=0
ou W<=1/k.1/(|bk|^(2.n+1)) pour tout n => pour k>=2, il existe n / W > 1/k.1/(|bk|^(2.n+1))
donc bk=0 pour tout k>=2
comme f'(0)=1, alors, b1.W=1
2) Si f n'est pas périodique. comme elle est Cinfini on la décrit en série de Taylor
f(x) = x + SOMME( ck.x^k/k! ) pour k>=2
Je te laisse poursuivre la démonstration

[invite74ea9275]

La fonction n'est pas majorée par sur

[invite74ea9275]

Merci, je vais m'y mettre ce week-end.
A bientôt