partie entière

[invite5420aad7]

ça va être un peu long
f(x)=E(x/2)+E((x+1)/2)

On a: nx<n+1
équivaut à: n/2x/2<(n+1)/2

Supposons n paire, alors n=2k (k appartenant à Z)
et on a: kx/2<k+1/2

Supposons n impaire, alors n=2k+1
et on a: k+1/2x/2<k+1

On a: (n+1)(x+1)/2<(n+2)/2

Supposons n paire, alors n=2k (k appartenant à Z)
et on a: k+1/2(x+1)/2<k+1

Supposons n impaire, alors n=2k+1
et on a: k+1(x+1)/2<k+3

On remarque que E((x+1)/2)=E(x/2)+1/2

Donc f(x)=2E(x/2)+1/2

et en m' aidant de la propriété du dessus je montre que g(x+2)=g(x)
-----

[invite52c52005]

On remarque que E((x+1)/2)=E(x/2)+1/2

Non, c'est faux. Ca ne peut pas être égal. D'un côté tu as un entier (la partie entière) et de l'autre côté tu as un entier (la partie entière) + 0,5, ce qui n'est pas entier.
Si tu n'es pas convaincue, prends une valeur pour x et tu constateras par toi-même que l'égalité n'est pas vérifiée.

Alors reprenons.
Tu as mal utilisé mes indications.

f(x)=E(x/2)+E((x+1)/2)

On a: nx<n+1
équivaut à: n/2x/2<(n+1)/2

Jusque là, OK.

C'est à partir de maintenant que tout se passe.

Supposons n paire, alors n=2k (k appartenant à Z)
et on a: kx/2<k+1/2

C'est juste, mais ce n'est pas la peine d'introduire le k.
Comme n est pair, tu peux laisser le n/2, on sait que c'est un entier et c'est ce qui compte puisqu'on cherche la partie entière. n/2, quand n est pair, est la partie entière de x/2.
On écrit donc : si n est pair, E(x/2) = n/2.

Supposons n impaire, alors n=2k+1
et on a: k+1/2x/2<k+1

Ton inégalité est juste. Mais, pour trouver la partie entière, ce qu'on cherche c'est le plus grand entier inférieur à x/2. Or k+1/2 n'est pas entier, mais k est l'entier qu'on cherche. C'est bien le plus grand entier inférieur à x/2. En effet k+1 qui est l'entier suivant est supérieur à x/2 (voir ton inégalité).
Donc tu as : si n impair, E(x/2) = k, ce que je préfère écrire, pour ne pas s'encombrer du k :
si n impair, E(x/2) = (n-1)/2

Pour voir si tu as compris, fais le même type de raisonnement pour trouver E((x+1)/2) suivant la parité de n.

Et termine la question.

Pour t'aider, on trouve E(x/2) + E((x+1)/2) = n. Et oui ! Et cela, quelque soit la parité de n !!

et en m' aidant de la propriété du dessus je montre que g(x+2)=g(x)

Montre ta démonstration pour vérifier que c'est correct.

Cordialement.

[invite5420aad7]

Pourquoi on remplace k par (n-1)/2?

[invite5420aad7]

Bonsoir,
Je tiens à m' excuser d' avoir mis autant de temps à répondre.
Sinon, voilà ce que j' ai trouvé (10ans plus tard) :

(n+1)/2(x+1)/2<(n+2)/2

Si n est paire n=2k (vous m' excuserez je vois mieux avec les k, mais après je remet les n), alors:
k+1/2(x+1)/2<k+1
Or l' entier le plus grand, inférieur à (x+1)/2 est k=n/2, donc E((x+1)/2)=n/2

Si n est impaire n=2k+1, alors:
k+1(x+1)/2<k+3/2
k+1 est un entier donc E((x+1)/2)=k+1, soit (n+1)/2

En résumé:

Si n est paire:
E(x/2)=(n-1)/2 et E((x+1)/2)=n/2, donc f(x)=n/2

Si n est impaire alors:
E(x/2)=(n-1)/2 et E((x+1)/2)=(n+1)/2, donc f(x)=n

D' où pour tout n appartenant à N, f(x)=n

Si je peux me permettre j' ai encore une dernière question à vous posez, j' arrive pas à montrer que E(x)+E(y)+E(x+y)E(2x)+E(2y), comment est-ce que je pourrais démarré; j' ai essayé de partir de la définition en attribuant à chacun une partie entière (respectivement n1 et n2), mais la ou je bloque c' est pour E(x+y) que je n' arrive pas à exprimer
Sinon je tenais à vous remercier vous et Guyem d' avoir pries le temps de m' aider.

[invite52c52005]

Bonsoir,

c'est bien tu es arrivé à trouver correctement pour le cas qu'on avait laissé c'est-à-dire E((x+1)/2).

Tu as juste fait une erreur (de recopie je pense vu qu'on avait déjà traité ce cas là) dans :

Si n est paire:
E(x/2)=(n-1)/2 et E((x+1)/2)=n/2, donc f(x)=n/2

Pour n pair , E(x/2) = n/2.
De plus, pour n pair, f(x) = n/2 + n/2 = n et pas n/2 comme tu l'as écrit.

C'est ce qui permet de conclure que quelque soit la parité de n, f(x) = n.

Tu as compris maintenant pourquoi c'était plus simple de continuer à travailler avec des n, mais ce n'est pas faux avec les k. Il suffit juste de revenir aux n ensuite pour conclure.



Pour ta nouvelle question, prends des encadrements entiers de x et y comme on a fait jusqu'à maintenant (en liaison avec les parties entières) et trouve les encadrements de x+y, 2x, 2y dans tous les cas pour en déduire l'inégalité demandée.
Je dis "tous les cas", car il y en a plusieurs. Exemples :
si x = 1,2 alors E(x) = 1 et 2x = 2,4 donc E(2x) = 2 = 2E(x) dans ce cas là
Mais
si x=1,7 alors E(x) = 1 et 2x = 3,4 donc E(2x) = 3 > 2E(x) cette fois-ci

J'espère que tu as compris l'idée.
Il faut que tu étudies les différents cas pour x et y et donc en déduire certaines choses pour E(x+y), E(2x) et E(2y) pour te permettre de trouver l'inégalité demandée.

Bon courage.

[invite5420aad7]

Il y a un truc que je ne comprend pas,
On a E(x)=n1, E(y)=n2
Et 2n1)2x<2*(n1+1), donc 2E(x)E(2x)
De meme 2E(y)E(2y)
Donc 2E(x)+2E(y))E(2x)+E(2y) (A1)

Mais n1+n2x+y,
Donc E(x)+E(y)E(x+y)

Donc je ne peux pas remplacer E(x+y) dans A1, je pense pas avoir le bon raisonnement

[invite52c52005]

Et non, tu ne peux pas conclure. C'est un peu plus subtil que ça.

Comme je te l'ai conseillé, il faut que tu étudies les differents cas suivant comment sont x et y, en t'inspirant de mon exemple dans le post précédent.

Pour mieux comprendre, choisis des valeurs numériques pour x et y et essaie d'établir l'inégalité demandée. Essaie pour plusieurs valeurs de et y.
Ca t'inspirera peut être pour raisonner ensuite de manière plus générale.

[invite5420aad7]

Mon cerveau ne fonctionne plus, je vais aller au dodo . J' essaierais demain.

[invite5420aad7]

Je donne ma langue au chat.

[invite5420aad7]

Sinon, est-ce que l' on peut définir l' ensemble R par:
R={x / x=n+k, n appartenant a Z, 0k<1}

[invite5420aad7]

est-ce que c' est parce que j' ai demandé la réponse que mon sujet est allé aux oubliettes??? J' ai donné mon dm jeudi si ça peut vous rassurer, je demande parce que j' aurais voulu savoir, j' y suis pas arrivé et j' en rêve toute la nuit(lol), non mais c' est vrai, je donne ma langue au chat.

[GuYem]

Sinon, est-ce que l' on peut définir l' ensemble R par:
R={x / x=n+k, n appartenant a Z, 0k<1}

Tu parles de l'ensemble des réels ?

Si oui demande toi ce que veut dire dans ta définition ...

[invite5420aad7]

Tu parles de l'ensemble des réels ?

Si oui demande toi ce que veut dire dans ta définition ...

non en fait pour ça j' ai obtenue une réponse, mais Pour E(x)+E(y)+E(x+y).....

[invite52c52005]

non en fait pour ça j' ai obtenue une réponse, mais Pour E(x)+E(y)+E(x+y).....

Personne d'autre t'a aidé depuis ?

Alors on y retourne.

Je t'expose ce à quoi je pensais (il y a peut être une méthode plus simple).

Je t'avais dit qu'il fallait étudier plusieurs cas. Je vais te donner l'idée.

On a :


(ce qui veut dire E(x) = n et E(y) = m)

On en déduit :

*

donc E(x+y) = n+m si x+y < n+m+(1/2)
et E(x+y) = n+m+1 si x+y n+m+(1/2)


*

donc E(2x) = 2n si x < n+(1/2)
et E(2x) = 2n+1 si x n+(1/2)


*

donc E(2y) = 2m si y < m+(1/2)
et E(2y) = 2m+1 si y m+(1/2)


On va essayer maintenant de comparer les termes impliqués dans l'inégalité qu'on cherche à démontrer (E(x) + E(y) + E(x+y) E(2x) + E(2y) ).

* si x+y < n+m+(1/2)
alors x < n+(1/2) et y<m+(1/2)

donc E(x) + E(y) + E(x+y) = 2n + 2m = E(2x) + E(2y)

* si n+m+(1/2) x+y < n+m+2 :

. 1) si x < n+(1/2) et y<m+(1/2)
. alors x+y < n+m+1

. donc E(x) + E(y) + E(x+y) = 2n + 2m = E(2x) + E(2y)


. 2) si x n+(1/2) et y m+(1/2)
. alors x+y n+m+1

. donc E(x) + E(y) + E(x+y) = 2n + 2m + 1
et E(2x) + E(2y) = 2n+1 + 2m+1

. ainsi E(x) + E(y) + E(x+y) < E(2x) + E(2y)


. Les cas suivants sont des cas intermédiaires des cas 1) et 2) donc, au bilan, on a bien :

E(x) + E(y) + E(x+y) E(2x) + E(2y)


Pour bien comprendre, essaye de le refaire par toi-même.

[invite5420aad7]

Personne d'autre t'a aidé depuis ?

Alors on y retourne.

Je t'expose ce à quoi je pensais (il y a peut être une méthode plus simple).

Je t'avais dit qu'il fallait étudier plusieurs cas. Je vais te donner l'idée.

On a :


(ce qui veut dire E(x) = n et E(y) = m)

On en déduit :

*

donc E(x+y) = n+m si x+y < n+m+(1/2)
et E(x+y) = n+m+1 si x+y n+m+(1/2)


*

donc E(2x) = 2n si x < n+(1/2)
et E(2x) = 2n+1 si x n+(1/2)


*

donc E(2y) = 2m si y < m+(1/2)
et E(2y) = 2m+1 si y m+(1/2)


On va essayer maintenant de comparer les termes impliqués dans l'inégalité qu'on cherche à démontrer (E(x) + E(y) + E(x+y) E(2x) + E(2y) ).

* si x+y < n+m+(1/2)
alors x < n+(1/2) et y<m+(1/2)

donc E(x) + E(y) + E(x+y) = 2n + 2m = E(2x) + E(2y)

* si n+m+(1/2) x+y < n+m+2 :

. 1) si x < n+(1/2) et y<m+(1/2)
. alors x+y < n+m+1

. donc E(x) + E(y) + E(x+y) = 2n + 2m = E(2x) + E(2y)


. 2) si x n+(1/2) et y m+(1/2)
. alors x+y n+m+1

. donc E(x) + E(y) + E(x+y) = 2n + 2m + 1
et E(2x) + E(2y) = 2n+1 + 2m+1

. ainsi E(x) + E(y) + E(x+y) < E(2x) + E(2y)


. Les cas suivants sont des cas intermédiaires des cas 1) et 2) donc, au bilan, on a bien :

E(x) + E(y) + E(x+y) E(2x) + E(2y)


Pour bien comprendre, essaye de le refaire par toi-même.

Ok merci beaucoup.

[asma1234asma]

ON m'a demandé de démontrer la formule donnant la partie entière de mx comme somme de parties entières, pouvez-vous m'aider?

[JPL]

Rappel de la charte du forum :

La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.

D’autre part lis d’abord EXERCICES et FORUM et fais ce qui y est demandé. Tu auras de l’aide ensuite.