DM sur les matrices et applications linéaires

[chloe4559]

Bonjour, je dois créer un DM, et j'ai décidé de partir sur les matrices magiques.

seulement, il y a quelque chose que je ne comprends vraiment pas.

Quand on a un système du type:

f(e1) = e11 +2e2 +e3
f(e2) = -e1 + e3
f(e3) = 2e1 +4e2 +3e3
f(e4) = -e1 -2e2 +e3

Comment sait-on que cette application est linéaire ? Car je voulais par rapport à ce qu'on a fait en TD partir sur une application comme ceci mais de telle sorte que la matrice associée à cette application soit magique. Seulement, je ne sais pas si j'écris une application sous cette forme en posant comme question la mtrice associée à cette application est-elle magique ? est ce que cette application est focrément linéaire où il faut d'abord que je le prouve ? Si oui comment dois-je faire ?

Pour l'application linéaire que je vous ai mise en exemple, elle est tirée d'un exercice de TD où l'on me dit dès l'énnoncé qu'elle est linéaire sans me demander de le prouver.

Pourrirez vous m'éclairer un peu svp ?
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[gg0]

Doublon de ce sujet (les doublons sont interdits).

Tu as une réponse déjà.
A la question précise "Comment sait-on que cette application est linéaire ?", la réponse est "on ne peut pas le savoir".

[chloe4559]

Quand j'ai créer cette discussion on m'a dit qu'il y avait une erreur. Du coup je n'ai pas vu q'elle avait été publiée. Désolé

[minushabens]

La chose à savoir c'est que si f est une application linéaire de E dans F et b=(b1,b2,...) une base de E alors f est déterminée par ses valeurs sur b : en d'autres termes deux applications linéaires qui coïncident sur une base donnée coïncident partout (sont égales).

Et inversement tu peux choisir des éléments f(bi) dans F comme bon te semble, tu obtiendras une application linéaire valide. C'est à mon avis l'origine de l'expression "famille libre" : libre signifie qu'il n'y a pas de contraintes. Si la famille b n'était pas libre tu ne pourrais pas choisir les valeurs f(bi) n'importe comment.

[A voir en vidéo sur Futura]