Génerateur groupe cyclique

[invitec1a6f4a7]

pour (Z/11Z)*,x) possede 10 generateur apres l'indicateur d'euleur mais j'ai trouvé que 3 est d'ordre 5 donc 3 n'est pas un genrateur donc on va trouvé mois de 10 generateur comment ca ????
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[Seirios]

Bonsoir,

En utilisant l'indicatrice d'Euler, on trouve que est d'ordre , et non qu'il contient dix générateurs.

[invitec1a6f4a7]

mais on ce theoreme

[invite47ecce17]

Bonjour,
(Z/11Z)^* est isomorphe à Z/10Z, il ne possede pas 10 generateurs mais \varphi(10) generateurs ou \varphi est l'indicateur d'Euler.
Tu penses vraiment que 1 est generateur de (Z/11Z)^*

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1a6f4a7]

donc il possede 7 generateur c'est ca

[invite47ecce17]

Combien y a t-il de generateurs dans Z/10Z? 0, 2, 4, 6, 8 et 5 ne le sont pas (Le premier est d'ordre 1, les 4 suivants d'ordre 5, le dernier d'ordre 2) ca elimine deja 6 candidats, 10-6<7

[invitec1a6f4a7]

oui merci j'ai une autre chose comment an trouve l'ordre d'un couple comme ca
Sans titre1.png
Sans titre 2.png

[invite9dc7b526]

Pour trouver l'ordre d'un élément dans un petit groupe comme celui-là, on calcule ses puissances successives (ou plutôt ici des multiples puisqu'il s'agit de groupe additif) jusqu'à tomber sur le neutre. Par exemple 2*(1,0) = (1,0)+(1,0) = (0,0) donc (1,0) est d'ordre 2. Pour (0,1) on a 2*(0,1) = (0,2) ; 3*(0,1) = (0,3) et 4*(0,1) = (0,0) donc l'ordre est 4. etc.