Lemme de Jordan - Intégrale sur un demi cercle infini

[Arateriou]

Bonjour, petite question d'analyse complexe. Le deuxième lemme de jordan nous dit que sous certaines conditions l'intégrale d'une fonction meromorphe sur un demi cercle de rayon infini est nulle. Lorsque l'on parle de demi cercle, s'agit-il d'un demi-cercle fermé (comprenant le diamètre) ou bien d'un demi-cercle ouvert (ne comprenant que les points situés à l'infini).

Merci d'avance!
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[minushabens]

Je ne suis pas sûr que le lemme de Jordan parle de "cercle de rayon infini"... et non, il n'y a pas l'axe réel (évidemment).

[topmath]

Bonjour :

Pour éviter toute confusion allons voir de très près Lemme de Jordan 1,2,3 .

Amicalement

[Arateriou]

Prmeièrement, merci pour vos réponses.

J'ai été voir la page wikipedia que topmath m'a inidiqué et je comprend toujours la même chose

Je dois probablement mal interpreté l'ennoncé du lemme car pour moi le contour C sur lequel on intègre est un demi-cercle de rayon r : "lemme de Jordan dans un demi-cercle qu'on peut toujours supposer être le demi-cercle supérieur." et on prend la limite lorsque r tend vers l'infni. Pour moi cela revient donc à intégrer sur un demi cercle de rayon infini.

Et en effet cela me paraitrait étrange de prendre en compte l'axe des réels, car j'ai du mal à imaginer l'intégrale nulle dans ce cas là, mais il y a sur le signe intégral le signe qui correspond pour moi à "intégrale sur un contour fermé", je ne vois pas comment fermer le demi-cercle autrement que par l'axe des réels...

[A voir en vidéo sur Futura]

[topmath]

Bonjour :

Justement en utilise le lemme de Jordan pour les limite des intégrale , ceux si dit il y'a une différence entre les intégrales sur un contour fermé et l'utilisation des résidus pour les calcules des intégrales définie à variable réels lorsque celles ci s'averrent difficile a être intégré par les méthodes dite classiques ( à conditions que c'est intégrales soient convergent et symétrique par rapport à l'axe des y ) , je ne sais si j'été claire exemple Théorème des résidus ) .

Amicalement

[Arateriou]

Merci, oui je pense que vous avez été suffisamment clair, arretez-moi si je me trompe:
L'intégrale que j'ai à calculer est (d'après les définitions données sur la page wikipédia) une intégrale de troisième type. J'étudie donc l'analogue complexe de cette intégrale, pour cela je l'intègre sur le contour suivant: l'axe des réels de - l'infini à + l'infini completé par le demi cercle supérieur. D'après le théorème des résidus la valeur de cette intégrale est égale à la somme des résidus. Et le lemme de Jordan me dit que l'intégrale sur le demi-cercle est nulle, et que donc l'intégrale sur l'axe des réels est égale à la somme des résidus. Est-ce correct?

[topmath]

Tout à fait ;

[minushabens]

(...) on prend la limite lorsque r tend vers l'infni. Pour moi cela revient donc à intégrer sur un demi cercle de rayon infini.

sauf que personne n'a jamais vu un cercle de rayon infini. Enfin bref, il vaut mieux en rester à la limite.

[Arateriou]

Ah ah d'accord j'ai été un peu trop laxiste sur l'utilisation du terme infini.
Il me reste cependant une question: Je ne comprend toujours pas pourquoi sur la page wikipedia du lemme de Jordan, l'intégrale nulle est une intégrale sur un contour fermé. Si l'on ne prend que le demi-cercle sans l'axe des réels alors il me semble que le contour est grand ouvert!

[topmath]

Bonjour:

Ah ah d'accord j'ai été un peu trop laxiste sur l'utilisation du terme infini.
Il me reste cependant une question: Je ne comprend toujours pas pourquoi sur la page wikipedia du lemme de Jordan, l'intégrale nulle est une intégrale sur un contour fermé. Si l'on ne prend que le demi-cercle sans l'axe des réels alors il me semble que le contour est grand ouvert!

Voilà faut faire la différence entre si le contour est fermé ce là revient à dire que le domaine est connexe (sans trous ) , maintenant si le domaine est Multi-connexe ce là reviens a dire qu'il contiens plusieurs trous (ils ne sont autre que des singularités à l’intérieur du domaine );et dans ce cas précis :

je m’explique l'intégrale fermé de suivant le contour qui englobe le domaine est égale à la somme des intégrales fermés suivant chaque trous (singularités ) encore le sens de est opposé au sens de tous les contours de ses singularités , bref cette formule de Cauchy est à la base de la théorie du calcule des intégrale par les résidus d'ou le Lemme 1,2,3 de Jordan .

Cordialement



Nb: méromorphe .