Fonction croissante borélienne

[invite50baf54d]

Bonsoir,

J'aimerais avoir une indication pour résoudre cette question.

La question est: Montrer que toute fonction croissante de I = ]0, 1[ vers R est borélienne.

(Je suis bloqué, j'ai dit que la tribu des boréliens sur IR était, par exemple, engendré les ouverts ]a, b[ (je ne sais pas si cette tribu qui engendre la tribu des boréliens sur IR est la plus intelligente, à choisir)
Puis je me suis donné un x appartenant à l'image réciproque de ]a, b[ par une fonction croissante f
Puis mise à part dire que a<f(x)<b
Je sèche un peu, je ne vois pas comment utiliser la croissance de f pour conclure)

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Rappelle-moi ce que veut dire "fonction borélienne" ?

Cordialement.

[invite50baf54d]

Une fonction borélienne est une fonction mesurable dont les espaces de départ et d'arrivée sont munis de la tribu des boréliens

[gg0]

Donc il te suffit de montrer que f est mesurable (ça veut dire quoi ?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50baf54d]

Il suffit que je montre que l'image réciproque d'un borélien par f est un borélien.

Pour cela je me suis donnée une tribu qui engendre la tribu des boréliens sur IR, par exemple la tribu engendrée par la classe des intervalles ouverts ]a, b[, il me suffit alors, d'après un résultat de cours, de montrer que l'image réciproque de ]a, b[ par f est un borélien.

C'est pourquoi je me suis donné un x appartement à l'image réciproque de ]a, b[ par f, et je veux montrer que x appartient à un borélien

[gg0]

"et je veux montrer que x appartient à un borélien" Facile : x appartient à ]0;1[
Même si f n'est pas croissante.
Donc ce n'est pas ça que tu dois faire. mais ce qui est dit dans la première phrase.

Pour ma part, j'aurais plutôt pris les ]-oo; a[ pour engendrer les boréliens de R. Et fait un dessin avec une fonction croissante un peu "mal foutue", avec des discontinuités et des "plateaux" où elle reste constante.

Bonne réflexion !

[invite50baf54d]

Merci, je me doutais que ça n'allait pas, j'avais remarqué que x était dans 0;1[

Merci de tes réponses rapides et bien menées!

[gg0]

Tu sais,

mes questions, c'est simplement lire l'énoncé. C'est ce que tu dois faire, chercher le sens des mots, en déduire ce qu'il y a à faire. D'ailleurs, je n'ai jamais fait cet exercice, je regarde simplement ce que tu en dis.

[invite50baf54d]

Donc comme tu me l'as suggèré j'ai pris la tribue engendré par ]-oo; a[ pour engendrer les boréliens de R

J'ai traduit la définition de l'image réciproque de ]-oo; a[: c'est l'ensemble des x dans I tq f(x) est inférieur ou égal à a

Ou encore c'est aussi la réunion des y appartenant à ]-oo; a[ de l'ensemble des x dans I tq f(x)=y

La, il me faudrait me ramener à une union dénombrable et j'aurais gagné. Mais je ne vois pas trop comment l'hypothèse pourrait m'aider.

[invite50baf54d]

j'ai pris enfaite ]-oo; a) (le a est inclus) dans tout ce que j'ai écris

[gg0]

Fais un dessin, pour voir.

La seule chose utilisable est que f est croissante, et ça suffit. Si A est l'image réciproque de ]-oo; a], et x est dans A, que peux-tu dire des z tels que 0<z<x ?

[invite50baf54d]

En utilisant la croissance de f on a que que f(z)<f(x) et f(x) inférieur ou égal à a donc z est dans l'image réciproque de ]-oo; a]
Je ne vois pas ou tu veux en venir.

Le problème est que je ne vois pas comment conclure. Ma dernière idée était d'écrire l'image réciproque de ]-oo; a] comme quelque chose qui est clairement borélien (par exemple comme un union dénombrable d'un ensemble clairement borélien)... mais bon je voyais bien que je ne pouvais pas conclure et surtout je ne voyais pas comment utiliser notre hypothèse

[gg0]

Tu ne vois pas comment c'est fait, un ensemble A tel que si x est dans A, tout z<x est aussi dans A ?

Sérieusement, tu es face à un exercice de L3 ou M1 et tu ne sais pas penser des questions de L1 ?

Et je suis sûr que tu n'as toujours pas fait un dessin.

N'attends pas que je fasse ton travail, je t'ai déjà donné des indications que tu aurais pu trouver seul ...

[invite50baf54d]

Si si "donc z est dans l'image réciproque de ]-oo; a]" z est dans A