Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

[invite2ec994dc]

Salut iharmed,

L'exemple que tu proposes à des nombres que l'on peut présenter, comme cela te l'as déjà été dit, cela s'appelle des nombres transcendants.
De tel ensemble existe, et n'ont pas d'autre intérêt que d'exister, par exemple l'ensemble O des nombres entiers utilisées par l'être humain, se nombre est même fini, et si on considère N-O alors on ne connaît par définition aucun nombre de cette ensemble, mais cela est vraiment sans intérêt.

Cordialement.
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[invitedd63ac7a]

La question initiale était pourtant intéressante : peut-on construire un ensemble infinie de réels sans pouvoir connaitre aucun de ces éléments
L'idée de prendre dans IR le complémentaire des nombres algébriques, solutions de polynômes à coefficients entiers ou rationnelles, sans répondre à la question l'a fait au moins avancer. Il faut reconnaître que la recherche des nombres transcendants reste laborieuse même aujourd'hui, bien que l'on n'en connaisse beaucoup. (cf ce que dit (*) Michel Waldschmidt, spécialiste en la matière).
Si on prend le complémentaire CC dans IR de tous les nombres qui peuvent être générés par un algorithme (**), cet ensemble contient naturellement tous les nombres algébriques, pas mal de transcendants. Connaissez-vous des nombres qui sont dans CC ?

(*) Un demi-siècle de transcendance, Michel Waldschmidt
(**) Un algorithme qui prend entrée un entier quelconque n et affiche en sortie une approximation à l'ordre n du nombre

[invite51d17075]

(*) Un demi-siècle de transcendance, Michel Waldschmidt
(**) Un algorithme qui prend entrée un entier quelconque n et affiche en sortie une approximation à l'ordre n du nombre

je ne connais pas ces "études".
alors, je n'ose pas dire de bétises.
sans t"obliger" quelles sont les conclusions utiles des travaux de Waldshmidt ?

[invite2ec994dc]

La question initiale était pourtant intéressante : peut-on construire un ensemble infinie de réels sans pouvoir connaitre aucun de ces éléments
L'idée de prendre dans IR le complémentaire des nombres algébriques, solutions de polynômes à coefficients entiers ou rationnelles, sans répondre à la question l'a fait au moins avancer. Il faut reconnaître que la recherche des nombres transcendants reste laborieuse même aujourd'hui, bien que l'on n'en connaisse beaucoup. (cf ce que dit (*) Michel Waldschmidt, spécialiste en la matière).
Si on prend le complémentaire CC dans IR de tous les nombres qui peuvent être générés par un algorithme (**), cet ensemble contient naturellement tous les nombres algébriques, pas mal de transcendants. Connaissez-vous des nombres qui sont dans CC ?

(*) Un demi-siècle de transcendance, Michel Waldschmidt
(**) Un algorithme qui prend entrée un entier quelconque n et affiche en sortie une approximation à l'ordre n du nombre

oui, Soit E le complémentaire de CC, E est dénombrable E={e1,....,en,....} E(x) partie entière de x :
z=somme(i=1..infini, (1-E(ei/E(ei)*2^i)+E(E(ei/E(ei)*2^i)/2)*2)/2^i )) n'est dans CC.

Argument diagonale, avec base 2.

[invite51d17075]

pardon, mais tu n'es pas très lisible !
un peu de latex ? peut être ?

[invite2ec994dc]

pardon, mais tu n'es pas très lisible !
un peu de latex ? peut être ?

L'essentielle à comprendre, c'est un argument diagonale à la Cantor, c'est à dire z est tel que la i ém duocémale (base 2) noté delta(z,i)=1-delta(ei,i).

[Médiat]

Argument diagonal qui démontre quoi ?

[invitedd63ac7a]

quelles sont les conclusions utiles des travaux de Waldshmidt ?

C'est un des spécialistes de l'étude des nombres transcendants et recherches apparentées.
Son document Un demi siècle de transcendance est assez accessible et passionnant

L'ensemble des nombres transcendants à la puissance du continue, ils sont donc "infiniment" plus nombreux que les nombres algébriques. On en connait beaucoup, comme pie, e, et d'une façon générale (théorème de Hermite Lindemann) tous les nombres de la forme ln(a) avec a algébrique strictement positif, exp(a) avec a algébrique non nul, etc. Mais certains nombres connus résistent aux analyses tels le Zeta(2n+1), n entier non nul, la constante d'Euler dont on ne sait toujours pas si elle est rationnelle ou non. Les travaux de Waldschmidt et de ses collègues consistent à trouver des méthodes pour découvrir des nombres transcendants et /ou montrer que des nombres déjà connus le sont.
Sur le site de Michel Waldschmidt Michel.waldschmidt/texts
l'ouvrage Nombres transcendants (1974) est un cours sur les nombres transcendants qui utilise des méthodes élémentaires.

oui, Soit E le complémentaire de CC, E est dénombrable E={e1,....,en,....} E(x) partie entière de x :
z=somme(i=1..infini, (1-E(ei/E(ei)*2^i)+E(E(ei/E(ei)*2^i)/2)*2)/2^i )) n'est dans CC.

Effectivement. Mais je reste assez perplexe : peut-on supposer ce nombre connaissable ? Je pensais en fait à d'autres exemples tels les nombres Omega de Chaitin.

[invite51d17075]

C'est un des spécialistes de l'étude des nombres transcendants et recherches apparentées.
Son document Un demi siècle de transcendance est assez accessible et passionnant

L'ensemble des nombres transcendants à la puissance du continue, ils sont donc "infiniment" plus nombreux que les nombres algébriques. On en connait beaucoup, comme pie, e, et d'une façon générale (théorème de Hermite Lindemann) tous les nombres de la forme ln(a) avec a algébrique strictement positif, exp(a) avec a algébrique non nul, etc. Mais certains nombres connus résistent aux analyses tels le Zeta(2n+1), n entier non nul, la constante d'Euler dont on ne sait toujours pas si elle est rationnelle ou non. Les travaux de Waldschmidt et de ses collègues consistent à trouver des méthodes pour découvrir des nombres transcendants et /ou montrer que des nombres déjà connus le sont.
Sur le site de Michel Waldschmidt Michel.waldschmidt/texts
l'ouvrage Nombres transcendants (1974) est un cours sur les nombres transcendants qui utilise des méthodes élémentaires.

OKI, merci.
après , le terme "infiniment" ???
il y a t-il des sous cardinaux de |R ?

[invitedf3b174e]

La question initiale était pourtant intéressante : peut-on construire un ensemble infinie de réels sans pouvoir connaitre aucun de ces éléments
L'idée de prendre dans IR le complémentaire des nombres algébriques, solutions de polynômes à coefficients entiers ou rationnelles, sans répondre à la question l'a fait au moins avancer. Il faut reconnaître que la recherche des nombres transcendants reste laborieuse même aujourd'hui, bien que l'on n'en connaisse beaucoup. (cf ce que dit (*) Michel Waldschmidt, spécialiste en la matière).
Si on prend le complémentaire CC dans IR de tous les nombres qui peuvent être générés par un algorithme (**), cet ensemble contient naturellement tous les nombres algébriques, pas mal de transcendants. Connaissez-vous des nombres qui sont dans CC ?

(*) Un demi-siècle de transcendance, Michel Waldschmidt
(**) Un algorithme qui prend entrée un entier quelconque n et affiche en sortie une approximation à l'ordre n du nombre

Merci eudea-panjclinne d’avoir dit que « La question initiale était pourtant intéressante »
Je ne permets pas dans ce forum d’être dans l'inutile

[invite51d17075]

eudea répond à sa manière.
mais le fait que les non-algébriques soient en nb infinis me semblait être totalement logique.

[Médiat]

Bonjour,

après , le terme "infiniment" ???

Bonne remarque, soyons clairs :

| Algébriques | =
| Non-algébriques | =

[invitedd63ac7a]

Ce qui nous amène naturellement à l'hypothèse du continu. C'est un axiome indépendant des axiomes de la théorie des ensembles (ZFC) affirmant qu'il n'y a pas de cardinaux intermédiaires entre celui des entiers naturels et celui de IR : .
Autrement dit, tout ensemble de cardinal strictement plus grand que celui de IN et inférieur ou égal à celui de IR est automatiquement de cardinal égal à IR. Il n'y a pas de place entre les deux pour des ensembles de cardinaux intermédiaires. C'est paradoxal, dans la mesure où l'on construit IR avec tous ses nombres et que nous décidons après coup s'il existe ou non des ensembles de cardinaux intermédiaires. En effet, l'hypothèse du continu est un axiome ou postulat, on peut l'admettre ou ne pas l'admettre. Encore une subtilité de l'infini réel !

[Médiat]

Ce qui nous amène naturellement à l'hypothèse du continu. C'est un axiome indépendant des axiomes de la théorie des ensembles (ZFC) [...]
C'est paradoxal

Bonjour,

Ces deux phrases sont contradictoires (en prenant paradoxal dans un sens fort), si c'est indépendant de ZFC (démonstration, en deux parties, due à Gödel et à Cohen), cela veut justement dire que son ajout (ou l'ajout de son contraire) n'introduit aucun paradoxe.

Et, à titre personnel, je n'aime pas le vocabulaire "on admet ou non un axiome", un axiome, soit on l'ajoute, soit on ajoute son contraire, soit on n'ajoute ni l'un ni l'autre.

PS : mes affirmations du message #42 restent correctes avec ou sans HC

[invite51d17075]

Et, à titre personnel, je n'aime pas le vocabulaire "on admet ou non un axiome", un axiome, soit on l'ajoute, soit on ajoute son contraire, soit on n'ajoute ni l'un ni l'autre.

là dessus, sans avoir mené les maths à votre niveau, je ne peux qu'approuver la notion d'axiome.
On construit avec ou pas !
simple question de logique .
maintenant si eudéa propose des "cardinaux" intermédiaires, il faudra le faire "proprement".

[invitedd63ac7a]

Le sens du mot paradoxal que j'ai employé n'a aucune prétention mathématique mais simplement pédagogique et vulgarisatrice et doit être pris dans le sens étonnant si vous préférez. Je ne remets en cause aucune théorie mathématique admise ni vos affirmations du message #42.
Ne sommes nous pas sur un forum publique ? Mettre de l'emphase sur certains termes, au risque de froisser quelque peu la rigueur mathématique, ne peut qu'être profitable pour amener des gens, non spécialistes, à se poser des questions sur tels ou tel sujet. Peut-être qu'un jour ces personnes s’intéresseront à la théorie des ensembles de façon plus approfondie il sera alors temps de leur faire sentir la subtilité d'admettre ou d'ajouter ou non un axiome, subtilité sur laquelle vous avez certainement raison.

[Médiat]

Le sens du mot paradoxal que j'ai employé n'a aucune prétention mathématique mais simplement pédagogique et vulgarisatrice et doit être pris dans le sens étonnant si vous préférez.

C'est bien pour cela que j'avais précisé : "en prenant paradoxal dans un sens fort". Je ne voulais pas relever une erreur mais prévenir une mauvaise interprétation de la part des lecteurs de passage.

[Médiat]

si eudéa propose des "cardinaux" intermédiaires, il faudra le faire "proprement".

Bonjour,

C'est justement l'immense apport de Cohen : construire proprement des ensembles de cardinal intermédiaire etre et avec sa méthode (pour laquelle il a reçu la médialle Fields) : le forcing.

[invite51d17075]

Ne sommes nous pas sur un forum publique ? Mettre de l'emphase sur certains termes, au risque de froisser quelque peu la rigueur mathématique, ne peut qu'être profitable pour amener des gens, non spécialistes , à se poser des questions sur tels ou tel sujet. Peut-être qu'un jour ces personnes s’intéresseront à la théorie des ensembles de façon plus approfondie il sera alors temps de leur faire sentir la subtilité d'admettre ou d'ajouter ou non un axiome, subtilité sur laquelle vous avez certainement raison.

je ne sais pas à qui vous vous adressez !
ce site est un échange, et chacun vient avec son bagage.
et je ne pense pas être nul en maths !

[Médiat]

Un autre type de de réponse (par rapport au message #9) :

Ensemble dont on ne peut citer (aujourd'hui) un seul élément.

[invitedd63ac7a]

@ansset Je ne m'adresse à personne en particulier et vous n'étiez en aucun cas visé, je suis désolé que vous ayez mal interprété mon message, veuillez m'en excuser. Mon attitude, qui vous a froissé à tort, est essentiellement pédagogique. Elle consiste, quand je peux, à étonner, voir provoquer les personnes dans le but de les amener à s’intéresser et à approfondir ensuite ces sujets. Je ne suis pas moi-même un spécialiste de la théorie des ensembles tout au plus un amateur.

[PlaneteF]

Bonjour Médiat,

Ah, de mon côté j'aurais plutôt mis "et" et "ou" à la place de et

Cordialement

[Médiat]

La conjecture de Goldbach s'écrit très bien formellement, mais j'avais la flemme (il suffit de remplacer , par , etc.)

[PlaneteF]

La conjecture de Goldbach s'écrit très bien formellement, mais j'avais la flemme (il suffit de remplacer , par , etc.)

Oui, ... C'était une amusette par rapport au récent fil : http://forums.futura-sciences.com/ma...s-formels.html

Cdt

[Médiat]

J'avais bien compris le clin d'oeil mais je n'allais pas abandonner le dernier mot sur la question de la maniaquerie, pardon, de la rigueur

[PlaneteF]

(...) mais je n'allais pas abandonner le dernier mot sur la question de la maniaquerie, pardon, de la rigueur

Tant mieux, j'me sens moins seul avec ma maniaquerie

[invitedd63ac7a]

Que signifie ?

[PlaneteF]

Bonjour,

Que signifie ?

L'Arithmétique de Peano démontre ...

Cordialement

[Médiat]

Un autre ensemble : Soit Une énumération des machines de Turing, soit une bijection de dans lui-même et soit la limite de la suite de Specker définie par ,
alors aucun des n'est calculable.

Pour une explication sur les suites de Specker, voir le chapitre VI.4.4 de Ensembles de Nombres

[invitedd63ac7a]

@PlanetF: merci

Ensemble dont on ne peut citer (aujourd'hui) un seul élément.

je connait la conjecture de Goldbach dans les entiers mais je ne vois pas le rapport avec IR. Je veux bien quelques explications sur cette ensemble défini ci-dessus. Merci pour le réponse.