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Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?



  1. #1
    iharmed

    Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?


    ------

    Bonjour,
    J’au lu quelque part et il y’a très longtemps qu’on peut construire un ensemble infinie de réels sans pouvoir connaitre aucun de ces éléments.

    Exemple :
    On va construire l’ensemble PPP :
    L’ensemble de tous les polynômes est infinie mais dénombrable.
    Chaque polynôme à un nombre fini de solution
    L’ensemble des solutions de tous les polynômes et aussi dénombrable, alors il est strictement inclus dans R.

    On en déduit que l’ensemble des réels qui ne sont solution d’aucun polynôme est infinie et non dénombrable. C’est l’ensemble PPP

    Pouvez trouver un élément de cet ensemble par exemple racine de log de Pi

    -----
    Dernière modification par iharmed ; 06/02/2015 à 23h03.

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  3. #2
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    j'ai du mal à saisir ton message, mais effectivement l'ensemble des nb transcendantaux ( par exemple, mais pas que ! ) n'est pas dénombrable.
    je ne comprend pas ou tu veux en venir.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    iharmed

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    j'ai du mal à saisir ton message, mais effectivement l'ensemble des nb transcendantaux ( par exemple, mais pas que ! ) n'est pas dénombrable.
    je ne comprend pas ou tu veux en venir.
    L’ensemble des nombres réels qui ne sont solutions d’aucun polynôme existe et infinie (bien lire la démonstration)
    Pourras-tu trouver un élément de cet ensemble ?

  5. #4
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Pourras-tu trouver un élément de cet ensemble ?
    ben tu viens d'en citer un, pi n'est solution d'aucune équation polynomiale.
    ( même pas besoin de faire) log(pi)
    je crois que tu confonds irrationnels et transcendantaux.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    iharmed

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    ben tu viens d'en citer un, pi n'est solution d'aucune équation polynomiale.
    ( même pas besoin de faire) log(pi)
    je crois que tu confonds irrationnels et transcendantaux.
    j'ai pas dis que je connais un nombre réel qui n'est pas solution d'acun polynome.

    je voulais juste dire que si voulez trouver un tel nombre faire combiner les racines, les log, les pi et ajouter peut etre les cos et sinus

  8. #6
    iharmed

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    ben tu viens d'en citer un, pi n'est solution d'aucune équation polynomiale.
    ( même pas besoin de faire) log(pi)
    je crois que tu confonds irrationnels et transcendantaux.
    SVP tu peut démontrer que pi n'est solution d'aucun polynome ?

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  10. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #8
    Tryss

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Au passage, tout les nombres réels sont solution d'un polynôme.

    Soit a un nombre réel, alors a est racine du polynôme P(X) = X-a

    Quand on parle de polynôme, préciser l'ensemble dans lequel le polynôme prend ses coefficients est indispensable

  12. #9
    Médiat

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Bonjour,
    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    J’au lu quelque part et il y’a très longtemps qu’on peut construire un ensemble infinie de réels sans pouvoir connaitre aucun de ces éléments.
    L'ensemble des réels qui ne sont pas définissables ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    joel_5632

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    > J’ai lu quelque part et il y’a très longtemps qu’on peut construire un ensemble infini de réels
    > sans pouvoir connaitre aucun de ses éléments.

    Il faut préciser la signification de "connaître" un nombre réel:

    - calculer, càd être capable (du moins en théorie) de fournir n'importe laquelle de ses décimales ?
    - définir ?
    Dernière modification par joel_5632 ; 07/02/2015 à 08h38.

  14. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par joel_5632 Voir le message
    > sans pouvoir connaitre aucun de ses éléments.
    Il faut préciser la signification de "connaître" un nombre réel:
    qu'entends tu par "aucun de ses éléments".
    élément = au moins un nombre qcq part ou
    élément = propriété.

    il me semble qu'on peut inventer assez simplement une suite de fonction f(x) telle que f(x)=O existe mais que pour autant x ne soit pas "calculable".
    si c'est le sens de ta remarque.
    Dernière modification par ansset ; 07/02/2015 à 09h36.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #12
    iharmed

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Au passage, tout les nombres réels sont solution d'un polynôme.

    Soit a un nombre réel, alors a est racine du polynôme P(X) = X-a

    Quand on parle de polynôme, préciser l'ensemble dans lequel le polynôme prend ses coefficients est indispensable
    bonjour
    je sais pas s'il faut préciser l'ensemble dans lequel le polynôme prend ses coefficients
    les coefficients d'un polynôme le sont dans l'ensemble Z si non ce n'est plus un polynome mais une equation quelconque

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  17. #13
    Médiat

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    les coefficients d'un polynôme le sont dans l'ensemble Z si non ce n'est plus un polynome mais une equation quelconque
    N'importe quoi ! Vous ne savez ni ce qu'est un polynôme, ni ce qu'est une équation
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Dynamix

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Salut
    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    On en déduit que l’ensemble des réels qui ne sont solution d’aucun polynôme est infinie et non dénombrable. C’est l’ensemble PPP
    Vu la remarque de Tryss , il est vide .
    "racine de log de Pi" est solution d' un polynôme évident : P(x) = x-(racine de log de Pi)

  19. #15
    iharmed

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    N'importe quoi ! Vous ne savez ni ce qu'est un polynôme, ni ce qu'est une équation
    Un polynôme, en algèbre générale, à une indéterminée sur un anneau (unitaire) est une expression de la forme (http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me):

    où X est un symbole appelé indéterminée du polynôme, supposé être distinct de tout élément de l'anneau, les coefficients sont dans l'anneau, et (ai) est un entier naturel.
    Dernière modification par iharmed ; 07/02/2015 à 13h05.

  20. #16
    Médiat

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Et pour vous le seul anneau unitaire est Z ????
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #17
    iharmed

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Et pour vous le seul anneau unitaire est Z ????
    Doucement modérateur,

    Par polynôme j’entends, c’est ce que j’ai appris, la somme des Ai fois x puissance i
    Ou les Ai appartient à Z et i à N

    La question est : c’est facile de démonter que l’ensemble des solutions réel de tout les polynômes est dénombrable et comme conclusion il existe, dans R, un semble infini de réel qui ne sont solution d’aucun polynôme.

    Pouvez en trouver un élément de ce denier ensemble ?

  22. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Tu as déjà eu ta réponse.

    Mais en voici une autre : e n'est pas racine d'un polynôme à coefficients entiers (*). Voir ce pdf. C'est connu depuis 130 ans.

    Cordialement.

    (*) à priori, les coefficients d'un polynôme peuvent être n'importe quel type de "nombres". Et les polynômes à coefficients réels ou complexes sont d'usage courant.
    Dernière modification par gg0 ; 07/02/2015 à 13h26.

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  24. #19
    iharmed

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Tu as déjà eu ta réponse.

    Mais en voici une autre : e n'est pas racine d'un polynôme à coefficients entiers (*). Voir ce pdf. C'est connu depuis 130 ans.

    Cordialement.

    (*) à priori, les coefficients d'un polynôme peuvent être n'importe quel type de "nombres". Et les polynômes à coefficients réels ou complexes sont d'usage courant.
    j'ai appris que e et i forment des nombres complexe et non réel (exetension du réel)

    donnée un nomre réel (réelement réel appartenant à R comme pi) qui n'est pas solution d'aucun polynome (leurs ensemble est infini)
    Dernière modification par iharmed ; 07/02/2015 à 13h38.

  25. #20
    Médiat

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    e n'est pas réel ????????????????

    Ici, c'est mathématique du supérieur, une erreur pareil est inacceptable

    Je me répète : Vous ne savez ni ce qu'est un polynôme, ni ce qu'est une équation, ni ce qu'est un nombre réel !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Qui veut noyer son chien l'accuse de la rage !

    Est-ce vraiment utile de répondre à quelqu'un qui ne comprend pas lui-même de quoi il parle ?

  27. #22
    minushabens

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Si e n'est qu'un réel douteux pour iharmed on peut lui proposer les nombres construits par Liouville. Ce sont des nombres de la forme 0.10..010......010..... où le nombre de zéros entre deux 1 grandit exponentiellement. Une puissance d'un tel nombre est encore un nombre de cette forme (l'élévation à la puissance entière k revient à décaler les places des 1). Et pour qu'un nombre de Liouville annule un polynôme, il faut qu'à une place décimale donnée zéro ou au moins deux puissances aient un 1, ce qui n'est pas possible par construction (ma description est quelque peu informelle je l'avoue, à iharmed de la compléter).
    Dernière modification par minushabens ; 07/02/2015 à 14h30.

  28. #23
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Est-ce vraiment utile de répondre à quelqu'un qui ne comprend pas lui-même de quoi il parle ?
    c'est une bonne question.
    car il existe parfois des personnes bac+0,2 prétendre avoir réinventé la RG ( par exemple ), devant leur ordi.
    il me semble utile de les recadrer afin d'éviter certaines pollutions sans fin ( qu'il est inutile de mentionner ).
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  29. #24
    Patzewiz

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Bonjour,

    La discussion sur le sens du mot polynôme nous éloigne du sujet (l'article Wikipedia distingue polynôme en algèbre générale et polynôme en analyse, ce qui peut mettre tout le monde d'accord).
    Si on revient au sujet initial, la question est de mettre en évidence un ensemble infini dont on ne peut nommer aucun élément. La démarche consistant à rechercher cet ensemble comme différence entre R et un ensemble infini contenu dans R est une piste intéressante. Manifestement l'ensemble PPP ne répond pas à la question puisqu'avec la définition restrictive d'un polynôme en algèbre générale, on trouve facilement des éléments de PPP. Il faudrait soit démontrer qu'il n'existe pas d'ensemble convenable à soustraire de R, soit en proposer un.
    Que sais-je?

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  31. #25
    izm342

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    e n'est pas réel ????????????????

    Ici, c'est mathématique du supérieur, une erreur pareil est inacceptable

    Je me répète : Vous ne savez ni ce qu'est un polynôme, ni ce qu'est une équation, ni ce qu'est un nombre réel !
    ........................;;;;;; ;;;;;;;;;
    Dernière modification par izm342 ; 07/02/2015 à 15h36.

  32. #26
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    qu'est ce qui vous choque ?
    e est bien un nb réel, non ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  33. #27
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    mais il y a t-il confusion avec les nombres "algébriques".
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  34. #28
    iharmed

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    e n'est pas réel ????????????????

    Ici, c'est mathématique du supérieur, une erreur pareil est inacceptable

    Je me répète : Vous ne savez ni ce qu'est un polynôme, ni ce qu'est une équation, ni ce qu'est un nombre réel !
    Bon, je me retire
    Le sujet est (J’ai lu quelque part et il y’a très longtemps qu’on peut construire un ensemble infinie de réels sans pouvoir connaitre aucun de ces éléments.)

    Il s’agit d’un ancien article dans la revue science et avenir (les grands énigmes ou peut être les énigmes de la science)
    L’ensemble dont la revue parle et celui des nombres réels qui ne sont solutions d’aucun polynôme.

    Mais peut être dans (mathématique du supérieur) ou un polynôme peut prendre divers formes, avoir des coefficients non naturels. Et ou les nombres complexes sont aussi réels le sujet est dépassé.
    Dernière modification par iharmed ; 07/02/2015 à 22h24.

  35. #29
    Médiat

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Il n'y a que vous qui soyez dépassé par un sujet aussi banal.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    iharmed

    Re : Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il n'y a que vous qui soyez dépassé par un sujet aussi banal.
    c'est peut etre vrai
    mai c'est pas bien dit

    fin SVP

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