Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

[invite51d17075]

Un découpage sur la longueur d'une formule fait que l'ensemble des formules est une réunion dénombrable d'ensembles finis, pour les langages finis et d'ensembles dénombrables pour les langages dénombrables ...

j'ai bien lu.
mais on en conclut donc que l'ensemble des nb algébriques est dénombrable et donc que son cardinal est le même que N. ?
heuu ! si tu me tape sur les doigts, vas y doucement STP...
Cdt.
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[Matmat]

Pour ça il y a déjà la réponse en 3ème page de ce fil , on avance ^^

[invite51d17075]

désolé, je n'ai pas tout relu,
je viens de revenir sur ce fil.
bon, je sors !

[invite51d17075]

OK mess #42 de Mediat.
mais c'était une affirmation brute, en revanche, j'ai là une démonstration.
subtile différence.
j'espère que quand tu dis "on avance" avec des ^^ ! ce n'est sans aucune intention de mépris !

[Médiat]

mais on en conclut donc que l'ensemble des nb algébriques est dénombrable et donc que son cardinal est le même que N. ?

Non seulement les algébriques, mais tous les définissables (les algébriques étant un sous ensembles de ceux-ci)

[invite8133ced9]

@Médiat:
Vous ne proposez pas de bijection, injection ou surjection qui permette de conclure. Il faudrait par exemple qu'on dispose d'une application qui à un entier naturel associe si la formule de numéro de Gödel n'est pas une définition d'un réel, et l'unique réel qu'elle définit sinon. Cependant l'existence de cette application n'est pas garantie il me semble.
Si une application de la même forme existait pour l'ordinal à la place de , alors on obtiendrait la contradiction ; il est donc assez raisonnable de se méfier d'une telle supposition.

[Médiat]

Bonjour,

L'ensemble des formules est dénombrable (N° de Gödel) qu'elles définissent un réel ou non, celles qui définissent un réel sont inclus dedans, je vous laisse conclure !

[invite51d17075]

décidément, j'ai du mal avec le mot "formule" !
si j'écris

ce n'est donc pas une "formule", ou bien une erreur mathématique de langage sur le signe = ?

[invite51d17075]

oublies ma question.
désolé.......

[Médiat]

Bonjour,

Ce n'est pas une formule classique du premier ordre, puisqu'il y a une somme infinie.

Avant de parler de formule, il faut définir le langage avec lequel on travaille

[invite51d17075]

oui, je n'en suis rendu compte juste après avoir envoyé mon mess. ( somme infinie )
d'ou ma correction juste après.
cela étant peut être que d'autres se sont posé à un moment donné la même question.
cordialement.

[invite8133ced9]

Je n'ai pas l'impression que vous ayez compris mes remarques.
Je suis d'accord avec le fait que si on définit les formules du premier ou second ordre comme suites finies d'éléments d'un ensemble dénombrable, on obtient un ensemble dénombrable. On peut donner une numérotation de Gödel des formules, etc. Mais peut-on assigner à chaque formule l'objet qu'elle définit le cas échéant? Sous-entendu: peut-on démontrer l'existence d'une telle application?

Sauf si ZF est contradictoire, l'existence de cette application est impossible, et je crois en avoir donné une preuve hier.

[Médiat]

Mais on le sait depuis toujours ZF est une théorie du 1er ordre, et Def est du 2 ordre puisque nécessitant une quantification sur les formules !

[invite8133ced9]

Puisque vous avez laissé entendre que l'objet que l'on a envie d'appeler existait en logique du second ordre (c'est-à-dire selon la version deuxième ordre de ZFC), je me suis placé dans ce cadre (que je ne connais pas) pour voir ce qu'il en était de l'existence éventuelle de réels non définissables. (ou plus précisément de la possibilité de démontrer dans ZFC qu'il en existe)
J'ai cru que vous expliquiez que dans ce cadre, il y avait des réels non définissables, et que vous justifiez ceci par le caractère dénombrable de .

[azizovsky]

Salut, une question : est ce que est tanscendant ?, car dans la série http://forums.futura-sciences.com/ma...e-fourier.html , si on remplace , on trouve :
si je me suis pas égaré quelque part.

[Médiat]

Salut, une question : est ce que est transcendant ?

Oui, puisque que et sont transcendant et que qui est algébrique

[azizovsky]

Oui, puisque que et sont transcendant et que qui est algébrique

Merci Médiat, il ne figure pas dans la liste donnée ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transcendant

[azizovsky]

Salut, une question : est ce que est tanscendant ?, car dans la série http://forums.futura-sciences.com/ma...e-fourier.html , si on remplace , on trouve :
si je me suis pas égaré quelque part.

faux .

[azizovsky]

Bonsoir, même si que j'ai dérayer, l'idée est que si avec transcendent, est ce qu'on peut conclure quelque chsoe pour ? (ou bien cette asserssion n'a pas de sens).

[Médiat]

Bonsoir, même si que j'ai dérayer, l'idée est que si avec transcendent, est ce qu'on peut conclure quelque chsoe pour ? (ou bien cette asserssion n'a pas de sens).

Ce que l'on sait :
+ et x sont internes sur les algébriques donc (a pour algébrique, t pour transcendant)
a + t = t' et a x t = t'.
t + t' = ? et t x t' = ?, mais au moins un des 2 est transcendant

Donc on ne peut rien dire sur c

[azizovsky]

Ce que l'on sait :
+ et x sont internes sur les algébriques donc (a pour algébrique, t pour transcendant)
a + t = t' et a x t = t'.
t + t' = ? et t x t' = ?, mais au moins un des 2 est transcendant

Donc on ne peut rien dire sur c

Un Grand Merci Monsieur 'Médiat', on apprend bcps avec vous.

[invite8133ced9]

@Médiat:
Pouvez-vous clarifier votre raisonnement? Finalement, je n'ai pas compris si vous défendiez l'existence d'ensembles non définissables (ce qui m'intéresse) ou si vous mentionniez les réels non définissables comme piste de réponse pour réfléchir.

Avec ce que j'ai lu sur ce fil, j'ai peur que les lecteurs s'imaginent que la réponse à la question de iharmed est triviale alors que je trouve ces questions de définissabilité souvent subtiles.

[inviteea028771]

@Médiat:
Pouvez-vous clarifier votre raisonnement? Finalement, je n'ai pas compris si vous défendiez l'existence d'ensembles non définissables (ce qui m'intéresse) ou si vous mentionniez les réels non définissables comme piste de réponse pour réfléchir.

Avec ce que j'ai lu sur ce fil, j'ai peur que les lecteurs s'imaginent que la réponse à la question de iharmed est triviale alors que je trouve ces questions de définissabilité souvent subtiles.

Personnellement, je trouve ça assez trivial, si on admet un nombre dénombrable de symboles/mots dans le langage mathématique.

Une formule (peu importe son ordre) est alors composée d'un nombre fini de symboles/mots, donc l'ensemble des formules est dénombrable.

De là, l'ensemble des nombres réels qui sont déterminés de façon unique par une formule quelconque est dénombrable

Il n'y a même pas à faire intervenir l'ordre de la formule me semble t'il.

[invite9dc7b526]

Personnellement, je trouve ça assez trivial(...)

mais en théorie des ensembles, beaucoup de choses qui paraissent triviales ne le sont pas tant que ça. A priori l'existence d'une fonction de choix semble triviale par exemple.

[Médiat]

Bonjour,

@minushabens : AC trivial, oui, mais :

L'axiome du choix est évidemment vrai, le principe du bon ordre est évidemment faux, et le lemme de Zorn personne n'en sait rien

@Tryss : Deux précisions :

1) j'ai cité le second ordre uniquement pour montrer que cet "ensemble des définissables" ne peut se définir qu'au second ordre (donc pas dans ZF, justement)
2) certains langages (pas celui de la logique classique du 1er ordre, bien sûr) permettent d'écrire un nombre non dénombrables de formules (par exemples )

[inviteea028771]

2) certains langages (pas celui de la logique classique du 1er ordre, bien sûr) permettent d'écrire un nombre non dénombrables de formules (par exemples )

D'où le "si on admet un nombre dénombrable de symboles/mots dans le langage mathématique". Ce qui me semble être le cas pour les "mathématiques humaines" (notion à formaliser )

Après si on met tout les réels comme constantes du langage (exemple extrême) ou des formules de longueur infinie, je ne répond plus de rien

[Médiat]

Ma remarque portait plutôt sur les langages infinitaires avec possibilité de conjonctions/disjonctions dénombrables, puisqu'effectivement le nombre non dénombrable de constantes était couvert par votre remarque

[invite8133ced9]

La question pour moi est essentiellement de savoir si dans ces contextes dans lesquels on peut définir (en tant qu'ensemble ou que classe), on peut aller jusqu'à prouver qu'il n'épuise pas tous les réels. Par exemple, si existe dans une version second ordre de ZF, notons-là ZF², qui serait ZF où les schémas d'axiomes sont regroupés en des formules du deuxième ordre, alors qu'en est-il de la présence de réels non définissables?


Encore une fois, ce n'est pas parce que l'ensemble des formules du langage (objet) est dénombrable que les ensembles d'objets définissables (lorsqu'ils existent) le sont, il manque une étape qui est: mettre en correspondance un objet et sa définition.

[inviteea028771]

Encore une fois, ce n'est pas parce que l'ensemble des formules du langage (objet) est dénombrable que les ensembles d'objets définissables (lorsqu'ils existent) le sont, il manque une étape qui est: mettre en correspondance un objet et sa définition.

Il y a nécessairement moins d'objets définissables que de formules, puisqu'un objet est définissable si il existe une formule qu'il est le seul a vérifier.

[invite8133ced9]

Que veut dire "il y a moins d'objets [...] que de [...]"?

L'interprétation classique de cette formulation est "il existe une injection de l'ensemble des objets [...] dans l'ensemble des [...]".

Donc déjà il faut que ces collections soient définies (et dans le cas présent on n'a pu le faire que dans ZF du second ordre, et encore je ne suis pas convaincu que la définition donnée soit satisfaisante), qu'elles soient bien des ensembles, et que l'injection existe.
Ce que j'essaie d'expliquer, c'est que je doute qu'une telle conjonction soit possible, et que si c'est le cas, il doit y avoir une subtilité quelque part qui fait que la contradiction introduite dans le message 117 et énoncée dans le 126 est évitée.

Après, je ne vois pas trop comment mieux expliquer les choses. Je ne crois pas pouvoir vous démontrer qu'il n'existe pas de telle injection - il en existe peut-être dans certains cas -, je vous dit simplement que pour l'instant aucune des argumentations proposées ne constitue une preuve de cette existence.