Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ?

[Ashrod]

Bonsoir (bien tard),

est non-algébrique.

Il va sans dire que c'est un exemple parmi tans d'autres : sont non-algébriques.

A bientôt
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[Médiat]

ben une infinité, me semble t-il !

Bonjour,

Soyons précis

En notant l'ensemble des nombres réels solution d'une équation polynomiale à coefficients rationnels (à tout hasard ce sont les mêmes que si on impose des coefficients entiers naturels), c'est à dire les réels algébriques.




Une autre façon de le dire : "Les réels sont presque tous non-algébriques (ou transcendants)"
ou encore : "L'ensemble des réels algébriques est de mesure nulle" (pour la mesure de Lebesgues sur )
ou encore (mais cette façon de dire est un peu une arnaque) : "si on tire un réel au hasard, ce sera très certainement un nombre transcendant"

[Matmat]

par exemple la probabilité que pi+e soit transcendant est 1 mais il n'y a pas de preuve.

[ansset]

par exemple la probabilité que pi+e soit transcendant est 1 mais il n'y a pas de preuve.

je l'ignorai.
il me semblait que c'était démontrable.
cordialement.

[Médiat]

il me semblait que c'était démontrable.

Bonjour,

Ce n'est pas connu (pas la même chose que "pas démontrable") ; on ne sait pas si est transcendant ou algébrique, on ne sait pas si est transcendant ou non, mais on sait qu'au moins l'un des deux est transcendant (résultat général sur la somme et le produit de nombres transcendants)

[Matmat]

Pardon aanset mais je ne voulais pas dire que c'est pas démontrable, je voulais juste dire que c'est non démontré, c'est une conjecture facile en quelques sortes ( je ne prend pas beaucoup de risque en admettant que pi+e est transcendant ) .

[JPL]

L'interpréteur Tex semble défaillant aujourd'hui.

[iharmed]

Bonsoir (bien tard),

est non-algébrique.

Il va sans dire que c'est un exemple parmi tans d'autres : sont non-algébriques.

A bientôt

Ok
Pour, « Un ensemble infini dont on ne connait aucun élément ? » la proposition de l’ensemble des nombres réels qui ne sont solution d’aucun polynôme c’est raté.

Essayez de construire un ensemble infini (ou fini) dont personne ne saura identifier aucun

[Médiat]

Je vous ai donné 3 exemples, cela ne suffit pas ?

[iharmed]

Je vous ai donné 3 exemples, cela ne suffit pas ?

oui c'est claire, c'est suffisant

[eudea-panjclinne]

Essayez de construire un ensemble infini (ou fini) dont personne ne saura identifier aucun

Un document intéressant qui construit de façon élémentaire des suites convergeant vers de tels nombres, définissables mais non calculables (suites de Specker), l'ouvrage est cité dans Ensemble de nombres p 189, référence donnée plus haut par Mediat
E. Janvresse, T. de la Rue, La face cachée des nombres, Université de Rouen (CNRS), 2007.

[Mocassins]

Médiat avait parlé des réels non définissables: ce sont des réels pour lesquels il n'existe pas d'énoncé tel que et et soit vraies.*

Connaît-on seulement un seul de ces réels s'il nous est impossible de le caractériser de quelque manière que ce soit?



*l'énoncé serait une définition de dans , par ex, est défini dans par

[Médiat]

Connaît-on seulement un seul de ces réels s'il nous est impossible de le caractériser de quelque manière que ce soit?

Bonjour,

J'avoue ne pas comprendre ce qui se cache derrière votre question, qui, je pense, ne se réduit pas à "peut-on définir un réel qui n'est pas définissable".

En tout cas, c'est une bonne idée d'avoir rappelé la définition de " est un réel définissable"

[Mocassins]

C'est que iharmed parlait de connaître un élément et non de le définir. On peut dire qu'on connaît les "entiers intuitifs", mais il nous est difficile de les définir. On peut définir chaque entier naturel mais cela ne signifie pas qu'on les connaît à mon sens. ("sauf ceux du début"...)
Je lui demandais (c'était une question rhétorique) s'il pouvait concevoir qu'on puisse connaître un réel sans pouvoir le définir dans le langage classique.
Personnellement j'ai du mal à le concevoir mais je ne suis pas absolument certain qu'on ne puisse pas trouver de définition dans un langage différent de certains réels définissables.

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De toute façon l'exemple des réels définissables est biaisé pour moi puisqu'il me semble qu'on ne démontre jamais l'existence de l'ensemble des réels définissables qu'extérieurement en considérant un modèle de ZFC, et que si celui-ci n'est pas standard, on ne peut pas déduire extérieurement que cet ensemble est de cardinal strictement inférieur à celui du de ce modèle..

[Médiat]

Je lui demandais (c'était une question rhétorique) s'il pouvait concevoir qu'on puisse connaître un réel sans pouvoir le définir dans le langage classique.
Personnellement j'ai du mal à le concevoir mais je ne suis pas absolument certain qu'on ne puisse pas trouver de définition dans un langage différent de certains réels définissables.

J'ai compris la question dans une autre direction : on peut envisager de définir un ensemble parfaitement dans sa globalité, sans que l'on soit capable de définir individuellement aucun de ses éléments

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De toute façon l'exemple des réels définissables est biaisé pour moi puisqu'il me semble qu'on ne démontre jamais l'existence de l'ensemble des réels définissables qu'extérieurement en considérant un modèle de ZFC[...]

En tout état de cause cet "ensemble" ne peut se définir qu'en logique du 2nd ordre, ce qui va bien dans votre sens

[ansset]

*l'énoncé serait une définition de dans , par ex, est défini dans par

bjr,
est ce une suggestion pour le mot "définissable" ou bien un critère mathématiquement admis.?
intuitivement, j'aurai proposé une autre approche, mais mon niveau en maths pures n'est pas très élevé.

[Médiat]

Bonjour,

C'est bien la définition de définissable : un élément est définissable si et seulement si il existe une formule qu'il est le seul à vérifier

Je constate avec horreur que vous ne connaissez pas par coeur ce merveilleux document "Ensembles de nombres"

[ansset]

Bonjour,

C'est bien la définition de définissable : un élément est définissable si et seulement si il existe une formule qu'il est le seul à vérifier

Je constate avec horreur que vous ne connaissez pas par coeur ce merveilleux document "Ensembles de nombres"

justement, c'est comme cela que je l'aurai présenté.
une propriété ( plutôt que formule ) qu'il est le seul à vérifier.
j'avais l'impression ( à tort visiblement ) que cela n'était pas explicite dans la proposition citée
c'était le sens de mon propos.

et ne soyez horrifié par mon inculture !
quand au "par coeur" , c'est le drame de ma vie, une incapacité génétique peut être.
cordialement.

[Mocassins]

 Cliquez pour afficher

Comment cet ensemble serait-il défini au second ordre?

(Connaissez-vous un bouquin ou un texte qui définisse rigoureusement le formalisme de la logique des prédicats du second ordre qui en présente quelques théories? Cela fait un moment que la question m'intrigue et je me demande quels sont les résultats à ce sujet.)

@ansset:
Oui il me semble que c'est la définition consensuelle de la définissabilité d'un élément.

[ansset]

pourquoi je dis propriété et non formule ?
si je prend la vitesse c de la lumière.
il me semble qu'elle est définissable par sa propriété, mais je ne connais aucune "formule" qui puisse la "calculer".
le mot formule me semble trop connoté : calcul mathématique.

[Médiat]

justement, c'est comme cela que je l'aurai présenté.
une propriété ( plutôt que formule ) qu'il est le seul à vérifier.
j'avais l'impression ( à tort visiblement ) que cela n'était pas explicite dans la proposition citée
c'était le sens de mon propos.

La partie assure que vérifie la formule et la partie assure que si "deux" éléments vérifient la formule c'est qu'ils sont égaux (il n'y en a qu'un).

et ne soyez horrifié par mon inculture !
quand au "par coeur" , c'est le drame de ma vie, une incapacité génétique peut être.
cordialement.

Je plaisantais (y compris sur l'aspect "merveilleux" du document)

[Médiat]

pourquoi je dis propriété et non formule ?
si je prend la vitesse c de la lumière.
il me semble qu'elle est définissable par sa propriété, mais je ne connais aucune "formule" qui puisse la "calculer".

Mais ce n'est pas des mathématiques, formule est bien le bon vocabulaire ici.

[Médiat]

J'enlève le spoiler, car il n'y a pas grand chose à spolier

Comment cet ensemble serait-il défini au second ordre?

Avec une quantificaion sur la formule (ce qui est valide au second ordre)

(Connaissez-vous un bouquin ou un texte qui définisse rigoureusement le formalisme de la logique des prédicats du second ordre qui en présente quelques théories? Cela fait un moment que la question m'intrigue et je me demande quels sont les résultats à ce sujet.)

En googlant "2nd order logic" (format pdf) j'obtiens 32 millions de réponses (et n'étant pas spécialiste de ce domaine je ne peux en conseiller un en particulier.
Une recherche sur SOL + Logic donne aussi des résultats

[ansset]

OK, si on reste ds le champ mathématique.
j'avais dans l'idée une extension du sens sur le plan de la physique.

quand à la plaisanterie , je l'avais évidemment saisi !
no pb.

[Mocassins]

D'accord.

S'il ne s'agit que de quantifier sur les formules, je pense à est une définition de dans . Je comprends que "E est une définition de x" soit exprimable dans le langage du second ordre sur .
Mais alors pour tout réel on peut considérer la relation qui est bien une définition de , donc .
Donc ça doit être autre chose...?

[Médiat]

Une formule doit avoir la forme la partie à droite du signe égal est dans le langage de ZF ; dans votre proposition , pour que cela marche il faudrait que soit une constante du langage, et donc pour trouver tous les réels, il faudrait une constante pour chaque réel, et dans ce cas, il sont bien tous définissables (trivialement)

[Mocassins]

Ok, j'avais mal compris ce que j'avais lu.

La raison pour laquelle je suis méfiant est que je connais le paradoxe suivant concernant la définissabilité:
Soit l'ensemble des éléments définissables de .
Si n'était pas vide, il comporterait un plus petit élément qui est défini dans par "x n'est pas définissable, et pour tout y ordinal non définissable, x est inclus dans y", ce qui est contradictoire.
Donc .

Pensant à cela, on peut se demander si l'ensemble des réels définissables ne serait pas l'ensemble des réels tout entier.

[Médiat]

Justement n'est pas définissable au premier ordre.

Si le langage de départ est au plus dénombrable, le nombre de formules est dénombrable et donc l'ensemble des réels définissables est dénombrable.

[Mocassins]

C'est ce point du caractère dénombrable qui est discutable: quelle est cette surjection ?



Si est définissable au second ordre, alors , donc s'il y a une injection il y en a une ...

[Médiat]

C'est ce point du caractère dénombrable qui est discutable

Un découpage sur la longueur d'une formule fait que l'ensemble des formules est une réunion dénombrable d'ensembles finis, pour les langages finis et d'ensembles dénombrables pour les langages dénombrables ...