Dimension et base d'un sous espace vectoriel

[Binomes]

Bonjour,

Voici l'intitulé de l'exercice que j'essaye de résoudre:

On note l'ensemble des polynômes de dégré inférieur ou égal à 2.
Soit

Après avoir montré que F est un sous espace vectoriel de , on me demande de donner sa dimension et d'en indiquer une base.
Comme , je serais tentée de dire que ça dimension est égale à 3 et qu'une base canonique est mais la seconde partie de la définition de F ( P(1)=0 ) me laisse plus perplexe.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aiguiller ?

Si oui, merci d'avance !
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[Médiat]

Vous venez de démontrer une version forte du théorème de Saint-Cyr : tout polynôme admet 1 ou -1 pour racine

[Binomes]

Merci Médiat pour ta réponse !

Malheureusement, je ne vois pas comment exploiter ce théorème ici ><

Pourrais-tu me donner plus de conseils, si ce n'est pas trop demander ?

[gg0]

Bonjour Binomes.

Examine comment sont faits les éléments de F, de combien de coefficients ils dépendent vraiment.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Malheureusement, je ne vois pas comment exploiter ce théorème ici ><

Le théorème de St Cyr est une blague (vous croyez vraiment que x-2 =0 a pour solution 1 ou -1 ?), et pourtant c'est ce que vous avez démontré (en encore plus fort).

[Binomes]

En posant P, élément de F:
avec

Et en prenant en compte que P(1)=0, je peux écrire selon le degré n de P:

n=2:



n=1:



n=0:



Dois-je en déduire que les coefficients dont dépend F dépend du degré de ses élements ?

[PlaneteF]

Re-bonjour,

(...) je peux écrire selon le degré n de P:

Pas besoin de faire cette distinction de cas comme tu le fais.

Pour obtenir au finish des vecteurs plus "simples", écris plutôt :

Puis regroupe les et ... et raisonne à partir de l'expression ainsi obtenue.


Cdt

[Binomes]

J'obtient:



Ainsi, dim F = 2 et une base B de F est

Est-ce juste ?

[PlaneteF]

J'obtient:



Ainsi, dim F = 2 et une base B de F est

Est-ce juste ?

La famille que tu proposes est bien évidemment génératrice de F, ... mais est-elle libre ?

Cdt

[Binomes]

Il me semble que oui.
On peut déjà remarquer dans une premier temps qu'il n'existe pas de "relation" simple (puis-je parler de colinéarité lorsque l'on ne parle pas de vecteurs ?) entre et .
On peut aussi le vérifier à l'aide de scalaires tels que:

Où on trouve :


La famille B est libre et génératrice, c'est donc une base de F.

Est-ce correct ?

[PlaneteF]

(puis-je parler de colinéarité lorsque l'on ne parle pas de vecteurs ?)

Mais si, ces 2 polynômes sont bien des vecteurs, puisque ce sont des éléments d'un espace vectoriel, c'est la définition même d'un vecteur (un vecteur ça peut être une fonction, un polynôme, une matrice, une suite, un couple, un triplet, etc ...).

Et ici il n'y a pas de proportionalité entre les coordonnées de ces 2 vecteurs, donc ils ne sont pas colinéaires.

La famille B est libre et génératrice, c'est donc une base de F.

Et donc (c'est maintenant que tu as une base que tu peux le dire).


Cdt

[Binomes]

Merci PlaneteF !