Salut,
En parcourant le forum je suis tombé sur ce cours d'algèbre destiné surtout aux étudiants de sciences physiques et qui me plaît bien.
Mais je rencontre quelques difficultés avec la formule de Leibniz qui permet de calculer le déterminant d'une matrice :
formuleleibniz.JPG
En fait je pense avoir comprit ce qu'elle veut dire, dans le sens où je serais capable de l'appliquer pour calculer un déterminant. Mais je m'interroge sur son utilité pratique car si j'ai bien comprit pour pouvoir l'utiliser il faudrait faire la liste de toutes les permutations possibles de Sn, calculer leurs signatures etc... Du coup première question : cette formule a-telle une utilité pratique pour des étudiants en sciences physiques, ou est-ce que l'on s'en sort toujours mieux avec un développement par rapport à une ligne ou colonne, ou bien en utilisant le procédé de Gauss ?
Au delà de ça, je bloque sur un passage de la démonstration de la formule et j'aimerai avoir votre avis :
demo1.JPG
demo2.JPG
Je bloque sur la dernière égalité en bas de la 2 ème image.
En fait ce qui me pose problème c'est que je ne suis pas d'accord avec la façon dont la matrice A semble être décomposée.
Vu que le determinant de A est décomposé en une somme de n déterminants, cela veut bien dire qu'implicitement A peut être décomposée en une somme de n matrices ? Or quand je vois l'expression des n déterminants de la somme du cours, je ne trouve pas que les n matrices correspondantes, si on les additionne, nous redonnent A, puisqu'on additionne aussi n fois les lignes du bas. Du coup OK la première ligne est bien recomposée si on additionne les n matrices, mais les (n-1) autres lignes ont toutes été multipliées par n en comparaison des lignes de la matrice A ? Du coup puisqu'on sait qu'en multipliant une rangée de matrice par un scalaire on multiplie aussi le déterminant par ce même scalaire, il faudrait ajuster l'égalité en divisant par (n-1)*n ?
Quelquechose m'échappe ou il s'agit d'une erreur dans le cours ?
Merci !
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