Algèbre

invite52487760 · 21/08/2015, 15h33

Bonjour à tous,

Je potasse pour l'instant un cours qui porte sur les groupes algébriques ... J'aimerais que vous m'expliquiez les grandes lignes du paragraphe suivant :

Soit $\text{[math]}$ un corps algébriquement clos.
Soit $\text{[math]}$ le groupe multiplicatif.
La première projection : $\text{[math]}$ induit un isomorphisme : $\text{[math]}$ , donc, $\text{[math]}$ s'identifie à une sous variété fermée de $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ .

- Comment démontre-t-on rigoureusement que : $\text{[math]}$
- Quelle est la définition abstraite de l'objet $\text{[math]}$ en général ?.

Merci d'avance.

**leon1789** · 21/08/2015, 15h51

pour ta première question :
as-tu une intuition concernant une application qui irait de k* dans {(x,y) / xy=1} ?
Ton application est-elle injective ? surjective ?

invite52487760 · 21/08/2015, 17h06

Salut :
Une application qui irait de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est par exemple : $\text{[math]}$ , non ? mais cette réponse ne fait pas l'objet de ma question qui consiste à déduire l'isomorphisme : $\text{[math]}$ à partir de la première projection : $\text{[math]}$ , non ?
Merci.

invite52487760 · 21/08/2015, 17h17

Concernant $\text{[math]}$ , c'est tout simplement l'anneau des coordonnées qui s'écrit en général, et par définition : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ l'idéal associée à la variété algébrique $\text{[math]}$ . Ici, $\text{[math]}$ . Donc, pas de souci sur ce point là. Il reste à déchiffrer la première question.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**leon1789** · 21/08/2015, 19h23

Envoyé par chentouf

Salut :
Une application qui irait de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est par exemple : $\text{[math]}$ , non ?

oui,

Envoyé par chentouf

mais cette réponse ne fait pas l'objet de ma question qui consiste à déduire l'isomorphisme : $\text{[math]}$ à partir de la première projection : $\text{[math]}$ , non ?
Merci.

ah... Considère l'application que tu as écrite ci-dessus : elle est bijective, quelle est la fonction réciproque ? N'y a-t-il pas un lien avec la première projection : $\text{[math]}$ ?

invite52487760 · 21/08/2015, 20h03

$\text{[math]}$ est une bijection de réciproque : $\text{[math]}$ définie par : $\text{[math]}$
En effet :
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$ .

Mais, je ne saisis pas encore le lien avec la première projection.

**arttle** · 21/08/2015, 22h54

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$ est une bijection de réciproque : $\text{[math]}$ définie par : $\text{[math]}$
En effet :
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$ .

Mais, je ne saisis pas encore le lien avec la première projection.

Tu ne vois pas le lien entre $\text{[math]}$ et la première projection? Regarde bien....

invite52487760 · 21/08/2015, 23h08

Bah ... l'une est une restriction de l'autre par rapport à la variété fermée : $\text{[math]}$ . C'est tout ce que je peux dire là-dessus.

**arttle** · 22/08/2015, 00h08

Je pense pas qu'il faille chercher le lien plus loin à mon avis...

invite52487760 · 22/08/2015, 17h59

D'accord, merci beaucoup arttle.

Pouvez vous m'expliquer la définition suivante qui se trouve dans mon cours de groupes algébriques :
Soit $\text{[math]}$ un groupe algébrique affine.
On dit que $\text{[math]}$ est diagonalisable s'il admet une représentation fidèle $\text{[math]}$ de dimension finie $\text{[math]}$ , ayant une base de vecteurs propres communs aux éléments de $\text{[math]}$ .
Que signifie qu'une représentation a une base de vecteurs propres communs aux éléments de $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

invite52487760 · 23/08/2015, 14h22

Bonjour, Que signifie qu'un groupe agit "morphiquement" sur une variété projective ?
Même en faisant une fouille sur google, on trouve nulle part ce terme apparaitre.
Merci d'avance.

invite52487760 · 23/08/2015, 17h04

Bonjour,

J'ai un peu de mal à comprendre la chose suivante :
Soit $\text{[math]}$ un groupe algébrique et $\text{[math]}$ son algèbre des fonctions régulières, avec $\text{[math]}$ un corps algébriquement clos.
Soit : $\text{[math]}$ la multiplication dans $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ le comorphisme de la multiplication $\text{[math]}$ .
D'après mon cours, $\text{[math]}$ , ce qui me semble être insensé à mon avis.
Quel lien existe -t-il entre $\text{[math]}$ et ( $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ) pour pouvoir noter : $\text{[math]}$ ?
A mon avis, $\text{[math]}$ doit s'écrire en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour pouvoir poser : $\text{[math]}$ par exemple : $\text{[math]}$ , mais ici il semble qu'il n'existe aucun lien entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans cette définition : $\text{[math]}$ , qu'est ce que vous en pensez ?

Merci pour votre éclairage.

invite52487760 · 24/08/2015, 19h04

Bonjour,

Sur le pdf çi - joint, à la page : $\text{[math]}$ , il est dit que : Une construction sur $\text{[math]}$ est un sous quotient d'un tel : $\text{[math]}$ . Qu'est ce que cela signifie concrètement ?
Il est dit aussi sur la même page que : La sous catégorie pleine des représentations dont les objets sont les constructions sur $\text{[math]}$ est stable par passage au sous quotient, et aussi par produit tensoriel et dual. Qu'est est le sens de cette définition ?

Merci d'avance pour votre aide.

invite52487760 · 30/08/2015, 22h22

Bonjour,

Qui peut m'apprendre l'utilisation des lois de base des algèbres de Hopf sans trop peiner ?. Je n'arrive pas à comprendre la manière de manier les formules qui leurs sont associées.

Merci d'avance.

azizovsky · 31/08/2015, 12h40

Bonjour,, il faut du temps pour maîtriser un outil

, je viens de regarder les définitions, algèbre, co-algèbre-->bi-algèbre , ce que j'ai compris, c'est l'opération inverse, dans le duel d'une algèbre, soit l'application f(x*y)= f(x)*f(y), mais si on à f et g dans le duel, comment définir une opération (f*g)(z), soit on pose =f(z)*g(z), ce que défini un morphisme je cois, mais si on décompose z=x.y, on peut construire une 'machine' composée, et que chaque composante agit sur une composante du 'matériel introduit dedans' (f*g)(x.y) =f(x).g(y).

les (*) et (.) sont des opération...., à toi de faire une image

.

azizovsky · 31/08/2015, 12h48

càd on fait intervenir une loi externe .

invite52487760 · 31/08/2015, 17h13

Merci, mais ce qui est plus particulièrement délicat et genant pour moi est de devenir familier avec des diagrammes indigestes. Comment, en tombant sur un diagramme, pouvoir l’interpréter assez vite pour l'utiliser à la "Sweedler notation" ? cela dit, il faudra plusieurs minutes avant de diagnostiquer le sens d'un diagramme, on ne réussit pas à premier coup à comprendre le sens d'un diagramme si on ne traduit pas à la "Sweedler notation" la relation de commutation. Plus concrètement, comment je vais connaitre que : $\text{[math]}$ traduit la propriété de co-associativité du dual d'un groupe algébrique par exemple ?
Merci d'avance.

azizovsky · 31/08/2015, 18h04

Bonjour, je viens de voir le diagramme commutatif, il a une symétrie parfaite pour un carreleur comme moi

, une opération qui coupe le carrelage, l'autre qui le rend en un seul morceau, c'est l'idéal .

il suffit de ne pas mélanger: le carrelage avec les machines et l'ordre ....

azizovsky · 31/08/2015, 18h41

il faut jouer un peu avec le diagramme ,d'après le diagramme: https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Hopf tu'as :

$\text{[math]}$
soit je passe par le bas du diagramme ou par le haut, ça change rien, un peu de temps pour passer de l'un à l'autre au revenir ...,casser la symétrie,.... avec le temps ,ça devient machinale ...

invite52487760 · 08/09/2015, 21h06

Merci @azizovsky.

Une autre question ( destiné à tout le monde, y compris azizovsky

) :

Soit $\text{[math]}$ un morphisme de schémas.
- Qu'est ce que ça veut dire que : $\text{[math]}$ est fini ?.
- Qu'est ce que ça veut dire que : $\text{[math]}$ est de type fini ?.

Merci d'avance.

invite02232301 · 10/09/2015, 10h34

Il suffit de chercher sur google.

invite52487760 · 10/09/2015, 10h44

Oui, j'ai trouvé leurs définition il y'a deux jours.

invite52487760 · 10/09/2015, 16h38

Bonjour,

Voici ma question :

J'ai un peu de mal à comprendre la chose suivante :
Soit $\text{[math]}$ un groupe algébrique et $\text{[math]}$ son algèbre des fonctions régulières, avec $\text{[math]}$ un corps algébriquement clos.
Soit : $\text{[math]}$ la multiplication dans $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ le comorphisme de la multiplication $\text{[math]}$ .
D'après mon cours, $\text{[math]}$ , ce qui me semble être insensé à mon avis.
Quel lien existe -t-il entre $\text{[math]}$ et ( $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ) pour pouvoir noter : $\text{[math]}$ ?
A mon avis, $\text{[math]}$ doit s'écrire en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour pouvoir poser : $\text{[math]}$ par exemple : $\text{[math]}$ , mais ici il semble qu'il n'existe aucun lien entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans cette définition : $\text{[math]}$ , qu'est ce que vous en pensez ?

Merci pour votre éclairage.

invite02232301 · 10/09/2015, 17h02

Envoyé par chentouf

qu'est ce que vous en pensez ?

Que comme d'habitude tu t'attaques à des choses que tu n'as aucune chance de comprendre.
Y a aucun souci avec ce qui est marqué dans "ton cours".

invite52487760 · 10/09/2015, 17h09

Même en ayant aucune chance de les comprendre, j'aimerai juste avoir la réponse, même s'il n'est pas de mon niveau, s'il ne sera pas utile pour mon cas, elle sera utile pour d'autres.

invite02232301 · 10/09/2015, 17h11

Personellement, je laisse tomber, tous ces fils ne servent à rien et sont vides. Quiconque a le niveau pour s'interresser legitimement à la theorie des algèbres de Hopf (pas juste parce que c'est un mot qui fait savant) saura répondre instantanément à ta question.

invite52487760 · 10/09/2015, 17h15

Elle n'est pas gentille ta manière de répondre. Les gens s'attendent à ce qu'ils soient encouragés et soutenu par ceux qui leur entourent, et non pour essayer de les écarter de ce qu'elle cherchent à entreprendre. Même si tu me fais entendre ces trucs là, je suis déterminé pour aller jusqu'au bout dans ce cours. Parce que, c'est une idée que j'ai fixé dans ma tête, alors inutile de continuer à me convaincre le contraire.

azizovsky · 10/09/2015, 17h36

Bonjour, je ne comprend presque rien du tous, mais regarde le page 99 de ton pdf. (conjoncture de ...., à l'attaque

).

azizovsky · 10/09/2015, 17h48

mais si j'étais toi, MIPAMA, t'as donné un conseil (c'est son métier) comme je le vois, il faut bien coller les 'annaux' de la chaîne mathématique...., si non tous va s'éparpiller ...

invite52487760 · 10/09/2015, 17h55

Je commence à cerner l'esprit de toutes ces objets que je manipule, et il n'y'a aucun obstacle qui se pose à moi, alors pourquoi s'abstenir alors, je suis à un pas de la fin de mon projet, il me reste les algèbres de Hopf et un peu de groupes algébriques pour m'attaquer aux objets en groupes et spécialement aux schémas en groupes qui m’intéressent le plus dans toute cette histoire là, et ainsi s'achève mon projet, et à partir de ce moment, je peux m'attaquer à mon domaine de recherche dans quel je me suis lancé depuis longtemps, mais, que je ne comprenais rien, maintenant, je suis familier à ce sujet suite aux investigations que j'ai lancé, et voilà. La phase apprentissage, bientôt sera fini, et vous n'allez plus me trouver là devant vous entrain de mendier de petits bout de réponse et n'encaisser que des dénigrements sans cesse.

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