démonstration algèbre

[invitea1344676]

Bonjour, j'ai une démo à faire et je ne sais pas comment faire donc voila la question ;
Démontrer que la matrice (0 1,0 0) n'a pas de racine carrée. il faut faire une preuve par absurde. Je sais que la matrice A est la racine carrée de la matrice B si A^2 =B

merci de bien vouloir m'aider !
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[Seirios]

Bonjour,

Donc tu sais qu'il te faut montrer que l'équation n'a pas de solution. Tu n'as qu'à développer et regarder attentivement ce qui se passe.

[invite9dc7b526]

La méthode suggérée par Seirios est sûement celle qui est attendue. Mais il y a plus rapide, à condition de connaître les propriétés des matrices nilpotentes. En effet, si je note A ta matrice, on a AA=0 et si A=BB alors BBBB=0 donc B est nilpotente. Là intervient la propriété en question : une matrice 2x2 nilpotente est nécessairement de carré nul, donc on devrait avoir BB=0 mais BB=A n'est pas nulle.

[Seirios]

Au cas où cela intéresserait mathcegep, on peut montrer que le degré de nilpotence vaut au plus la dimension de la matrice de deux manières :

Première méthode : 1) Montrer que les valeurs propres d'une matrice nilpotente sont nulles, 2) En déduire par par trigonalisation dans que toute matrice nilpotente est conjuguée à une matrice triangulaire strictement supérieure, 3) Montrer que, si est une matrice triangulaire strictement supérieure, alors .

Deuxième méthode : 1) Montrer que le polynôme minimal d'une matrice nilpotente est de la forme , 2) Puisque le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique, en déduire que si la matrice considérée est .

[A voir en vidéo sur Futura]