Problème de primitivation de fonctions rationnelles

[invite56d324c7]

Bonjour,
je suis étudiante en seconde année du supérieur et nous avons commencé à voir les primitives (beaucoup plus complexes que celles du secondaire, évidemment...).
J'ai un énorme problème pour primitiver la fonction ci-dessous

∫1 / ( sin⁡x . (cos)²x )

J'ai commencé à primitiver en suivant la méthode du changement de variable. Donc en posant t=h(x)=tg(x/2), cosx= (1-t²)/(1+t²); sin x = (2t)/(1+t²) et h'(x)= (2)/(1+t²), tout en gardant en tête les formules de Carnot ainsi que la relation cos²x+sin²x= 1

Seulement, rien à faire, je n'arrive pas à tomber sur la bonne réponse.
Quelqu'un pourrait-il m'aider à en trouver la résolution? Et éventuellement me dire si cette démarche est correcte ou non?

Merci d'avance !
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[Resartus]

Dans le cas général, passer par t est une des méthodes. On peut rester en sinx également au début. Dans tous les cas, il faut savoir ramener la fraction avec un dénominateur où il y a un produit de polynomes p(x)/q(x) à une expression en somme de fractions plus simples
Cette opération s'appelle "décomposition en éléments simples". Si vous ne l'avez pas encore pratiquée, voici un lien

http://www.bibmath.net/formulaire/in...oi=eltssimples

Mais dans votre cas, il y a une astuce : passer à l'angle double 2x : exprimer sinx en fonction de sin2x et idem pour Cos²x

[Resartus]

Je retire ce que j'ai écrit sur le passage à l'angle double (les calculs sont finalement plus compliqués). Simplement faire la décomposition en éléments simples
avant l'intégration (qui obligera quand même à passer par t)

[CM63]

Bonjour,

Ajoute un sinx au numérateur et au dénominateur. On a donc un sin²x au dénominateur que tu remplaces par 1-cos²x. Et là tu as une forme du / (u²(1-u²)). Sauf erreur de ma part.

A plus

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56d324c7]

Bonsoir,
je vous remercie pour vos réponses !
Nous avons déjà pratiquer la décomposition en fractions simples, seulement je trouve uniquement la première partie de la réponse et pas la seconde (je tombe sur :

- int[(1/(1-cos^2x).dx] ce qui devient - int [(1/1-u^2)]. ) La deuxième partie de la réponse est ln(tg(x/2)).

(J'ai bien posé u=cos x. Et je "suppose" que c'est à cette étape-ci que je dois poser t=tg(x/2) ?
Je ne suis pas certaine de mon développement

Merci d'avance !

[invite56d324c7]

Je vous envoie un dernier message encore une fois pour vous remercier pour votre aide, j'ai enfin trouvé la réponse ! Je ne suis pas encore habituée avec ces intégrales mais ça me rassure d'avoir enfin pu trouver réponse à cet énoncé, je vais continuer de m'exercer pour vraiment bien saisir la technique !

Je vous souhaite une bonne soirée,
à bientôt !




PS: si quelqu'un voulait la correction, n’hésitez pas à me la demander

[CM63]

Bonsoir,

Bravo si tu as réussi . En fait le cours sur la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles "clot" le thème des intégrations, avec cela tu vois que tu peux intégrer n'importe quelle fonction.

A plus

[gg0]

Heu ....
"intégrer n'importe quelle fonction" ?? On ne sait pas trouver par le calcul des primitives à la plupart des fonctions, même des simples comme sin(x)/x. "intégrer n'importe quelle fonction rationnelle" ? Même pas. Il faut savoir factoriser le dénominateur, ce qui est impossible dès qu'il est de degré élevé.

Donc restons raisonnable. On sait intégrer pas mal de fonctions simples, plus des fonctions compliquées de forme particulières.

Cordialement.