Bonjour,
Je bloque un peu sur un exercice :
Soit fn(x) une suite de fonction pour laquelle il existe 0<p<1 et un nombre réel k>0 tels que pour tout n :
||fn+1(x) -fn || ≤ kpn
par rapport à une norme ||.||
Il faut montrer que la suite fn est une suite de Cauchy.
D'habitude on me donne directement la suite de fonction fn et la norme à appliquer, ici je ne vois pas comment débuter.
Bonjour,
Un petit indice :.
Sinon, une remarque en passant : bien faire la distinction entre la fonction
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour,
A partir de l'indice
en essayant d'appliquer la norme sur la somme je ne vois pas très bien comment cela permet de faire avancer les choses. Il faudrait sûrement majorer l'expression mais par quoi ? On a peu d'information sur la suite de fonction.
De plus ici m = 1 alors on ne prendrait que le premier terme. Faut-il utiliser l'inégalité triangulaire ? ||a+b|| ≤ ||a|| + ||b||
Oui, utiliser l'inégalité triangulaire est une bonne idée...
En utilisant : | ||a|| - ||b|| | ≤ ||a-b||
| ||fn+1(x)|| - ||fn|| | ≤ ||fn+1(x) -fn || ≤ kpn
On a kpn qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini
alors la norme appliquée sur fn est une suite de Cauchy
C'est ça ?
Absolument pas.
D'une part parce qu'il n'y a pas de lien logique entre
D'autre part, parce que le fait que la norme de fn soit une suite de Cauchy ne nous dit pas grand chose sur la question de si les fn forment une suite de Cauchy ou non.
Seirios te donne un indice : le truc que tu cherches à majorer en norme s'écrit comme une somme de termes : comment majorer naturellement la norme d'une somme de termes? Et est ce que par hasard, tu ne pourrais pas majorer la norme de chacun des termes?
