Bonjour, voici l'énoncé du problème et de la question que je n'arrive pas à effectuer :
On considère la suite (un) définie par u1 = 1/2 et un+1 = un-un2
Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite. OK
Prouver la convergence de la série un2
Je suppose qu'il faut majorer la suite (un2) par une autre suite vn. Dire que la série vn converge et ainsi on pourra appliquer le théorème de comparaison des séries à termes positifs mais je bloque...
Par hasard, u ne ferait pas l'affaire pour majorer ?
Si... on sait que la suite (un) converge d'après la première question, je peux en déduire directement que la série de terme général un converge ? Je ne pense pas
Il faut que je calcule la suite des sommes partielles de un ?
Moi j'écrirai, je pose Tn = u1 + u2 + ... + un qui tend vers 0 en + l'infini (d'après la première question)
Donc la série de terme général un converge
Tu as raison, j'ai lu trop vite. Pas d'idée sur le moment.
Ce n'est pas bon ??
Je n'ai pas vraiment compris. Pourquoi tu calcules la somme desalors que c'est la somme des
Sinon, par définition
Oui mais je ne connais pas l'expression de un
Si je sais que la série de terme général un converge alors par théorème la série de terme général un^2 converge
Mais tu n'a pas besoin d'avoir l'expression de u_n ! Tu as essayé d'écrire les premiers termes de la somme partielle des (u_n)^2 avec l'indication que je t'ai donné?
oui il reste un+1
Et tu ne viens pas de prouver que u_n converge? (et donc u_{n+1})
si, c'est un théorème ça ? parce que un+1 est une suite extraite ?
Formellement, c'est une suite extraite, mais en gros c'est la même suite, qui commence juste un terme plus tard. Le comportement à l'infini serra donc le même.
Mais si tu veux une preuve :
Soit
Donc, en posant
Ainsi, en posant
Donc
D'accord merci beaucoup.
Je vais encore vous embêter pour la question qui suit. Il s'agit de montrer pour tout n appartenant à N*, un = u1 x (produit de k allant de 1 à n-1) (1-uk)
Je pense qu'il faut faire une récurrence mais je n'arrive pas à démarrer
Sinon, et à titre d'information, il me semble que la série des u_n ne converge pas : u_n à l'air d'être équivalent à 1/n
Ah bon comment avez-vous trouver ceci ?
Et si je l'écrit comme ça :
Juste du calcul numérique, donc pas de preuves (mais u_n*n à l'air de bien converger vers 1, et assez franchement)Envoyé par nrj06
Donc ce n'est pas une récurrence...
C'est assez ressemblant on passe de un+1 à un en enlevant 1 donc que le produit se termine à n-1 est logique mais c'est ce u1 qui me gêne encore
En fait, il y a une convention à savoir : Pour n = 1 , le produit est "vide", il est donc égal à 1.
Mais c'est bien une récurrence, elle est juste simple (on dirai "par une récurrence immédiate" si on a un peu de bouteille)
Sinon, pour montrer que Un est équivalent à 1/n :
Soit
Par développement limité,
Donc
Et ceci tend vers 0 si et seulement si a = -1
On a donc
Et alors, on somme :
C'est à dire
Ou encore
Merci, mais c'est pour la partie hérédité que je m'embrouille...
En fait je n'arrive pas à retrouver un+1 avec l'expression sous forme de soustraction un-un^2 avec les produits..
Puis par hypothèse de récurrence
D'où le résultat
Merci !!
Comment à partir de ça, en déduire la nature de la série ln(1-un) ?
Il faut se servir du fait que ln(a)+ln(b) = ln(ab) pour faire apparaitre l'expression d'avant
J'ai posé vn = ln(1-un) et Tn = somme des vk de k allant de 1 à n
je peux écrire Tn = ln (produit (1-uk) de k allant de 1 à n)) ?
Je sais pas si c'est clair...
Oui, pourquoi ne pourrai tu pas le faire?
Et ensuite je remplace le produit par un/u1 ?
