Morphismes de groupe

[invite971f87bc]

Bonjour,

Je dois déterminer tous les morphismes de groupe de Z/10Z dans Z/15Z.
Quelqu'un peut il me donner une méthode?
Merci
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[invite23cdddab]

Comme Z/10Z est engendré par un seul élément, il suffit d'avoir l'image de cet élément par ton morphisme pour avoir l'image de tout les éléments par ton morphisme.

Quelles valeurs peut prendre f(1)? Indice : regarde l'ordre des éléments de Z/15Z

[invite971f87bc]

Merci Tryss pour ton aide.
Je vais travailler à partir de tes remarques, qui me permettent d'apprécier le grand vide qui m'entoure.
En effet, je ne suis même pas capable à ce jour de comprendre pourquoi Z/10Z est engendré par un seul élément.

A suivre...
Merci encore Tryss

[invite23cdddab]

Il est pourtant clair que
1=1
2=1+1
3=1+1+1
4=1+1+1+1
...
0 = 10 = 1+1+...+1

Non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite971f87bc]

Si bien sur en utilisant l'addition comme LCI, mais est-ce vraiment si évident?
En tous cas merci Tryss

[invite971f87bc]

Donc j'ai trouvé f(1) a pour ordre un diviseur du PGCD de 10 et 15.
Son ordre peut donc être égal à 1 ou 5.
Si son ordre est 1, il s'agit du morphisme trivial.
Si son ordre est égal à 5, on a nécessairement:
f(1)= 3; f(1)=6; f(1)=9; f(1)=12 qui sont les éléments d'ordre 5 dans Z/15Z.
Et maintenant comment puis je continuer?

[invite23cdddab]

Tu as simplement que

[invite971f87bc]

Merci Tryss