l'etude d'une fonction arcsin
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l'etude d'une fonction arcsin



  1. #1
    invite8d31d601

    l'etude d'une fonction arcsin


    ------

    l’énoncé était :
    .............................. .......................(2x)
    a) Démontrer que f(x) = arcsin ( --------- ) admet une fonction réciproque (f-1)
    .............................. .....................(1 + x²)

    b) Préciser les propriétés de cette fonction


    c) Déterminer l'expression analytique de (f-1)

    MERCI D'AVANCE

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin


  3. #3
    invite8d31d601

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    je me bloque c'est pour ca j'ai essayé de demontrer a partir de la bijectivité de la fonction mais je me bloque au intervale de definition du fonction reciproque

    je m'excuse pour la publication directe de l'enoncé :/

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    Si tu as fait l'étude de la fonction f, tu connais l'ensemble des images, donc tu n'as pas ce problème. L'ensemble de définition de l'éventuelle réciproque est l'ensemble des images.

    Bon travail !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite7c2548ec

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    Bonjour:

    Citation Envoyé par ousse Voir le message
    je me bloque c'est pour ca j'ai essayé de demontrer a partir de la bijectivité de la fonction mais je me bloque au intervale de definition du fonction reciproque

    je m'excuse pour la publication directe de l'enoncé :/
    Effectivement admet un intervalle de définition !

    A mon avis faite le chagement de variable dans on posant .

    Cordialement

  7. #6
    invite8d31d601

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    j'y arrivé merci beaucoup

  8. #7
    invite8d31d601

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    pour le
    a)- je dit que f(x) est continue et strictement croissante sur l'intervale [-1,1] donc elle est bijective donc elle admet une fonction reciproque
    c)- je pose t=2x/(1+x²) apres je fait y=arcsin(t) et j'ai trouvé t=sin(y) donc la fonction reciproque c'est y=sin(t)


    b) pour cette question je vois pas qui veux dire par les proprieté et je sais pas l'intervalde de definition de la fonctio reciproque

  9. #8
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    Citation Envoyé par ousse Voir le message
    pour le
    a)- je dit que f(x) est continue et strictement croissante sur l'intervale [-1,1] donc elle est bijective donc elle admet une fonction reciproque
    c)- je pose t=2x/(1+x²) apres je fait y=arcsin(t) et j'ai trouvé t=sin(y) donc la fonction reciproque c'est y=sin(t)


    b) pour cette question je vois pas qui veux dire par les proprieté et je sais pas l'intervalde de definition de la fonctio reciproque
    ok pour le a)

    pour le b ) une réponse t'a été donnée si une fonction f d'un intervalle I vers un autre J, alors la réciproque est forcement définie de J vers I.

  10. #9
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    ps : ton c) est tout faux, tu fais une sorte de réciproque de la réciproque en mélangeant en peu tout.

  11. #10
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    à ta place, j'oublierai cette histoire de cgt de variable au début , tu vas te melanger les pinceaux.

  12. #11
    invite8d31d601

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    si on fait comme ca


    y=arcsin( 2x/(1+x²) ) => sin(y)=2x/(1+x²) => apres pour qu'on resoudre cette équation c'est un peu compliquer

  13. #12
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    non , pas tant que cela.
    cela revient à une équation du second degré en x, qui est facile.

    mais auparavant tu dois dire
    est défini de [-1;1] ds [-a,+a] en précisant a donc
    est défini de [-a;a] ds [-1,+1]

  14. #13
    invite8d31d601

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    a egal à pi/2 mais comment on determine la fonction reciproque

  15. #14
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    depuis
    sin(y)=2x/(1+x²)
    tu peux en déduire une équation du second degré en x , avec sin(y) comme parametre.
    (en multipliant tout par 1+x² )
    le discriminant simplifie la "chose.
    tu vas voir

  16. #15
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    je t'attend

  17. #16
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    [édit : envoyé avec retard]

    Bonsoir.

    la fin de ton message #7 contredit le début. Tu ne peux pas parler de bijection sans connaître le domaine de définition de la fonction réciproque.

    Je te conseille de lire un cours sur les bijections. Tu verras que c'est toujours une bijection de tel ensemble sur tel autre ensemble. Puis lire ce qui concerne les réciproques. Pour voir le lien avec la bijection.

    Pour l'instant, tu ne peux pas avancer puisque tu ne connais pas le sujet. Par exemple y=sin(t) ne dit pas la même chose que t= Arcsin(y). Ne connaissant pas correctement les règles sur les fonctions réciproques, tu ne connais pas Arcsin correctement.

    En conclusion : Quand tu auras raccordé complétement la définition des applications avec leur ensemble de départ et d'arrivée, tu comprendras enfin ce que tu peux faire.

    Cordialement.

    NB : L'intervalle [-1;1] est nouveau. Il ne faisait pas partie de l'énoncé de départ. Nous aurais-tu caché des informations ? Il est vrai que ton énoncé du message #1 est faux !!!
    Dernière modification par gg0 ; 07/12/2015 à 20h03.

  18. #17
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    Pour ce qui est des propriétés de la réciproque, comme tu n'as pas appris tes leçons, tu n'as pas en tête qu'un certain nombre de propriétés de la réciproque sont obtenues directement, sans la calculer : bornes ou limites, valeurs particulières, dérivée, ...
    Ça ira mieux quand tu auras appris le cours dont cet exercice est une application.

  19. #18
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    je dirais incomplet.
    je lui ai demandé justement les intervalles de définition si tu as lu.
    Cdt

  20. #19
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    [édit : envoyé avec retard]

    Bonsoir.

    la fin de ton message #7 contredit le début. Tu ne peux pas parler de bijection sans connaître le domaine de définition de la fonction réciproque.

    Je te conseille de lire un cours sur les bijections. Tu verras que c'est toujours une bijection de tel ensemble sur tel autre ensemble. Puis lire ce qui concerne les réciproques. Pour voir le lien avec la bijection.

    Pour l'instant, tu ne peux pas avancer puisque tu ne connais pas le sujet. Par exemple y=sin(t) ne dit pas la même chose que t= Arcsin(y). Ne connaissant pas correctement les règles sur les fonctions réciproques, tu ne connais pas Arcsin correctement.

    En conclusion : Quand tu auras raccordé complétement la définition des applications avec leur ensemble de départ et d'arrivée, tu comprendras enfin ce que tu peux faire.

    Cordialement.

    NB : L'intervalle [-1;1] est nouveau. Il ne faisait pas partie de l'énoncé de départ. Nous aurais-tu caché des informations ? Il est vrai que ton énoncé du message #1 est faux !!!
    je te trouve très dur sur les formes.
    en revanche, je pensais qu'on lui demandait en dernier l'expression de la réciproque, qui est facilement calculable.
    mais c'est plus que l'énoncé, il est vrai.

  21. #20
    invite8d31d601

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    sin(y)x²-2x+sin(y)=0
    delta=4-4sin²(y)
    pour delta>0 : x(1)=1-sqrt(1-sin²(y))/sin(y)
    x(2)=1+sqrt(1-sin²(y))/sin(y)

  22. #21
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    gg0 a eu raison de te demander les intervalles de définitions.
    car l'image de arcsin(x) n'est pas la même que celle de arcsin(2x/(1+x²))
    donc une précision sur l'intervalle de bijection est nécessaire.

    sur le calcul :

    (1-sin²) ça ne te dit rien ?
    sinon
    l'une des deux seulement est acceptable, car prolongeable par continuité en 0, ce qui est indispensable.

    mais comme je l'ai dit, on ne te demande pas la formule explicite de la réciproque.
    ( ce que je pensais , j'ai fait une erreur ).

  23. #22
    invite8d31d601

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    oui je vois c'est cos²(y) oui je comprend bon a la fin f-1 = 1"+ou-"cos(y)/sin(y)

  24. #23
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    oui mais l'une des deux a un sens en y=0 et pas l'autre .
    ( att aux parenthèses )
    (1-cos(y))/sin(y) tend vers 0 quand y tend vers 0
    l'autre tend vers +/- l'inf.

    pour revenir aux remarques de gg0.
    il était effectivement nécessaire de vérifier le comportement de la fct 2x/(1+x²) sur l'intervalle afin de préciser ( si nécessaire ) le domaine de validité de la bijection.

    et je répète qu'on ne te demandait pas la fonction réciproque mais sa valeur en un point.
    c'est moi qui ai poussé le bouchon.

  25. #24
    invite8d31d601

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    oui je comprend merci bcp pour vous

  26. #25
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    donc sur les intervalles qui vont bien
    la réciproque vaut bien
    (1-cos(y))/sin(y)

  27. #26
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    Ansset :

    Au départ, il y a un énoncé incomplet, donc faux (f n'est pas injective)
    Ensuite, une fois l'énoncé rectifié : "1) .... définie sur [-1;1] admet une fonction réciproque", on ne demande pas de calculer cette fonction réciproque, et pour cause !
    La question 2 une fois traitée on est armé pour traiter la question 3.
    Le plus simple est d'utiliser la dérivée de f pour en trouver une expression qui donnera immédiatement sa réciproque. Je me demande si ce n'est pas l'idée. Mais supposons qu'on n'a rien remarqué.
    On a besoin de trouver en résolvant qui donne une équation du second degré dont le discriminant est le carré d'un nombre simple (car on sait où est x) et aussi une seul valeur pour y car on sait son domaine de valeurs.
    Il y a une transformation trigonométrique à faire (passer à l'angle moitié) pour avoir une expression très simple. C'est quand même plus pénible que de voir que la dérivée de f nous permet de l'écrire plus simplement et de trouver une réciproque immédiatement.

    Dans tous les cas, ces questions de domaines de définition et de valeurs sont essentiels pour traiter sérieusement de fonctions réciproques. N'oublie pas que en dehors de [-1;1], f est une fonction décroissante et que tout ce qu'on fait là n'a plus de sens.

    Donc non, je ne suis pas "dur sur les formes", je lui demande de faire des maths, pas de la bouillie.

    Très cordialement.

  28. #27
    invite8d31d601

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    pour cet inervalle de(1-cos(y))/sin(y) :
    sin(y) doit etre differante de 0 alors l'intervalle est R/{0}

  29. #28
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Dans tous les cas, ces questions de domaines de définition et de valeurs sont essentiels pour traiter sérieusement de fonctions réciproques. N'oublie pas que en dehors de [-1;1], f est une fonction décroissante et que tout ce qu'on fait là n'a plus de sens.

    Donc non, je ne suis pas "dur sur les formes", je lui demande de faire des maths, pas de la bouillie.

    Très cordialement.
    merci pour la bouillie !
    j'apprécie..

    1) je lui ai demandé de préciser ses intervalles.
    2) je ne suis pas sur que passer par les dérivées soit plus "naturel "
    3) la fct finale est donc erronée ?????

  30. #29
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    bon, je laisse la main.
    je suis sur que gg0 sera extrêmement clair sur ce qu'il attend.
    bye.

  31. #30
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : l'etude d'une fonction arcsin

    Hé ! Ansset !

    La "bouillie" n'était évidemment pas pour toi, mais qualifiait la production de Ousse. Qui continue (message #27).
    J'ai bien vu que tu essayais de l'amener à un travail sérieux. mais il résiste, et finira par croire qu'il a trouvé alors que ce qu'il finira par écrire sur sa feuille sera de la bouillie.

    Cordialement.

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