Convergence uniforme des suites de fonctions

[ceseb]

Bonsoir,
Ma question pourrait paraître débile mais je bloque sur un exemple qui concerne la convergence uniforme des suites de fonctions (t^n)
que voici (je vous fais un copier coller) :

Convergence uniforme de (fn)n∈N avec
fn(t)=t^n pour t∈[0,1]
fn(t) converge simplement vert la fonction f définie par : 0 si t∈[0,1[
1 si t=1
étudions fn-f on a: fn-f = t^n si t∈[0,1[
1 si t=1

donc ∥fn−f∥∞=1 qui ne tend pas vers 0 donc la suite de fonctions (fn) ne converge pas uniformément.



ce que je comprend pas c'est que fn-f a t=1 sois égale a 1 ! si j compte bien t^n - 1 = 1-1 =0 si t=1,
du coup comment prouver la convergence uniforme ?
Votre aide serai la bienvenue,merci.
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[invite26ea85d9]

Le problème est que les fonctions, de type x^n sont continues sur [0,1], moralement plus n est grand plus x^n devient proche de 0 mais doit cependant atteindre le point de coordonnées (1,1) et ce de façon continue. Si tu n'est pas convaincu, tu peux étudier ( complètement ) la suite de fonctions gn=fn-f sur [0,1] ( et gn(1)=0 !!! ), et surtout calculer explicitement le max de cette fonction et regarder comment ce max évolue quand n tend vers l'infini. Tu comprendras surement mieux pourquoi on dit que le problème est en x=1

[gg0]

Bonjour.

ce que je comprend pas c'est que fn-f a t=1 soit égale a 1 !

C'est normal que tu ne comprennes pas, c'est faux. Ce n'est d'ailleurs pas ce que dit la correction :

∥fn−f∥_∞=1

Rappel :

Ce sup est obtenu au voisinage de 1, mais pas en 1. Fais un dessin !

Cordialement.

[ceseb]

Merci a vous deux,j'ai enfin compris

[A voir en vidéo sur Futura]