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4 points coplanaires ?



  1. #1
    julien_4230

    4 points coplanaires ?


    ------

    Bonjour.

    Soient:
    A(1;2;2)
    B(-1;0;0)
    C(2;2;2)
    D(2;-3;0)

    L'énoncé dit qu'ils sont non coplanaires.
    POURTANT : j'ai obtenu le contraire !
    En effet, on sait que l'équation d'un plan est :
    ax + by + cz+ d = 0 ; a, b, c et d réels.

    Donc : systèmes à 4 inconnues.

    a + 2b + 2c + d = 0
    -a + d = 0
    2a + 2b + 2c + d = 0
    2a - 3b + d = 0

    donc :
    a = b = c = d = 0

    Donc A, B, C et D sont coplanaires.

    Où est le problème dans mon raisonnement ?
    Merci bien.

    -----

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  4. #2
    yat

    Re : 4 points coplanaires ?

    Le problème, c'est qu'avec une équation de type ax+by+cz+d=0, le tout est à une constante près. Donc si tu multiplies tous tes coefficients par un coefficient k non nul, ton équation restera la même.

    D'autre part, comme un plan est défini par trois points, si tu fais un système avec quatre équations il y en a une en trop, donc si les quatre points sont coplanaires, tu retomberas quand même sur tes pieds avec une solution correcte. Si au contraire les quatre points ne sont pas coplanaires, le plan dont tu cherches l'équation n'existe pas. Tu retomberas donc sur le résultat ou le facteur k est nul, c'est à dire que tous les coefficients sont nuls, et que donc ton équation ne définit absolument aucun plan.

    Pour t'en convaincre, prends l'équation du plan que tu as trouvé, et essaye de trouver un point qui n'y soit pas.

    Si tu veux vérifier que quatre points sont coplanaires, tu peux trouver une équation du plan formé par les trois premiers et regarder si le troisième est dessus. Mais en cherchant l'équation du plan à partir de ses trois points, à la fin tu te retrouveras avec un paramètre indéterminé. Par exemple, ici j'ai a=0, d=0 et b=-c. Je dois choisir une valeur pour b ou pour c. Si je prends b=1, j'obtiens y-z=0, ce qui me définit bien un plan. Tu constateras que le quatrième point n'est pas dedans.

  5. #3
    neqer

    Re : 4 points coplanaires ?

    a=b=c=0 ne définit pas un plan : il faut donc ajouter que a, b ou c est non nul dans le système. Ici les points sont bien non coplanaires.

  6. #4
    julien_4230

    Re : 4 points coplanaires ?

    Donc si j'ai bien compris, si j'obtiens :
    1) une cohérence
    2) a, b, c et d réels NON NULS
    j'ai bien un plan.
    Right ? Merci!

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  8. #5
    kNz

    Re : 4 points coplanaires ?

    Juste par curiosité, comment définirait-on ici l'équation du plan (ABC) ?

    Aurait-on ce système là :

    a + 2b + 2c + d = 0
    -a + d = 0
    2a + 2b + 2c + d = 0

    ??

    Si oui, je trouves (a,b,c) = (0,0,0) ce qui me semble impossible

    Conclusions :

    1) j'me suis trompé dans le raisonnement
    2) j'me suis planté dans la résolution du système

    En gros dans tous les cas j'me suis planté..

  9. #6
    yat

    Re : 4 points coplanaires ?

    Citation Envoyé par kNz
    2) j'me suis planté dans la résolution du système
    Je pense que c'est ça, oui. Le système est bien celui qu'il faut résoudre pour trouver l'équation du plan des trois premiers points, et la solution est à la fin de mon premier post : c'est a=0, d=0, b+c=0.

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  11. #7
    kNz

    Re : 4 points coplanaires ?

    Oups désolé yat j'avais zappé la fin de ton post

    Merci

  12. #8
    julien_4230

    Re : 4 points coplanaires ?

    Non, il n'y a pas d'erreur dans ton raisonnement, kNz. La solution du système est S = {0;0;0}.
    Donc les coefficient sont tous nuls, donc A, B, C et D n'appartiennent guère au même plan.

  13. #9
    modulaire

    Re : 4 points coplanaires ?

    Citation Envoyé par julien_4230
    Non, il n'y a pas d'erreur dans ton raisonnement, kNz. La solution du système est S = {0;0;0}.
    Donc les coefficient sont tous nuls, donc A, B, C et D n'appartiennent guère au même plan.
    Non, ils ne sont pas coplanaires. Calcule par exemple le produit mixte (A-B, C-B,D-B), cela ne fait pas zero.

  14. #10
    shokin

    Re : 4 points coplanaires ?

    Pour savoir si 4 points A, B, C et D sont coplanaires, tu as plusieurs manières :

    Tu fais le produit vectoriel de AB et AC et le produit vectoriel de AC et AD. Si les deux vecteurs obtenus sont colinéaires, les 4 points sont coplanaires.

    Tu transcris les trois vecteurs AB, AC et AD en une matrice 3*3. Si le déterminant de cette matrice (Sarrus) est nul, les 4 points sont coplanaires.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  15. #11
    julien_4230

    Re : 4 points coplanaires ?

    Euh, tu parles de matrice, mais je ne suis qu'en terminal S ! On ne voit pas ceci en Ts...
    Et cette méthode d'équation de plan, le cours de math dit clairement : "le vecteur n(a;b;c) ne doit pas être nul" une chose de la sorte. "les plans admettant n comme vecteur normal ont une équation du type : ax + by + cz + d = 0" d€IR.

    C'est logique : M et A appartenant à un plan P perpendiculaire à n, on a : vecteur(MA)*vecteur(n) = vecteur nul.

  16. #12
    modulaire

    Re : 4 points coplanaires ?

    Citation Envoyé par julien_4230
    Euh, tu parles de matrice, mais je ne suis qu'en terminal S ! On ne voit pas ceci en Ts...
    Et cette méthode d'équation de plan, le cours de math dit clairement : "le vecteur n(a;b;c) ne doit pas être nul" une chose de la sorte. "les plans admettant n comme vecteur normal ont une équation du type : ax + by + cz + d = 0" d€IR.

    C'est logique : M et A appartenant à un plan P perpendiculaire à n, on a : vecteur(MA)*vecteur(n) = vecteur nul.
    Oui, tu as raison aussi. En réalité, la méthode dont du parles, celle de Shokin (et la mienne aussi) sont équivalentes, meme si ce n'est pas évident à premiére vue. Ce que Shokin propose, c'st de considerer des vecteurs à la place des points. Pour cela, on fait un changement de repere qui consiste à prendre l'un des points (A, par exemple, mais les autres conviennent aussi) pour origine. De cette façon, le plan contenant A,B,C,D, s'il existe passe par la nouvelle origine. C'est pour cela que l'on soustrait les coordonnées de A à celles des autres points. Apres, on écrit un systéme d'équations comme tu nous le dis, mais plus simple, car on sait que d=0. Ce systéme peut aussi se définir avec une matrice, dont le déterminant dit s'il y a des solutions non triviales (c'est à dire, différentes de a=b=c=0). Enfin, ce déterminant, c'est aussi le produit mixte des vecteurs AB,AC, et AD. Je pense que tu verras ces méthodes bientot.

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  18. #13
    shokin

    Re : 4 points coplanaires ?

    Un grand chapitre et très large même très utile que l'algèbre linéaire !

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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