densité et fonction de répartition de variable aléatoire réelle

[invite2a52ba01]

bonsoir a tous,
je bloque sur un petit problème,
soit X une variable aléatoire réelle de densité f et de fonction de répartition F
je dois trouver la densité et la fonction de répartition de X-E(X) où E est la fonction partie entière.
j'ai tout d'abord remarqué que X-E(X) représente en réalité la fonction partie décimale de X et que E(X) est une variable aléatoire discrète
j'ai essayé en passant par la fonction test en faisant un changement de variables je remarque un probèmes pour trouver les dérivées car ce ne sont pas des fonctions dérivables
pour la méthode de la fonction caractéristique je ne trouve rien d'exploitable
je pense maintenant essayer de faire une somme en remarquant que E(X) est une VA discrète mais je bloque...
pouvez vous m'aider ?
merci d'avance
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[invite23cdddab]

A vue de nez la densité doit être un truc du genre (pour x entre 0 et 1)



Et ça peut se montrer comme ça :





Et, en justifiant l'interversion,

[invite2a52ba01]

a oui ! je n'avais pas pensé à mettre une somme pour ne plus être embêté par E
par contre dans la formule de ladensité ne faudrait-il pas rajouter une indicatrice entre 0 et 1 ?
merci beaucoup

[invite23cdddab]

Oui oui, il faudrait, vu que mon intégrale est sur [0,1[ et pas sur R

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2a52ba01]

super merci pour votre aide

[invite2a52ba01]

bonjour,
je viens de reprendre ce problème et je me pose une petite question
pour prouver que c'est bien la densités ne faut-il pas vérifier que l'intégrale de cette fonction entre + l'infini et - l'infini vaut 1 ?
merci

[invite23cdddab]

Prend phi constante égale à 1, et tu as le résultat immédiatement