matrices définies positives

[invite0e7e2b76]

Bonsoir si j'ai une matrice symetriques d'ordre N comment montrer qu'elle est définie positive?
Merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Par exemple en prouvant que, pour toute matrice colonne X non nulle : ^tXAX>0.

On bien en prouvant que toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

[Resartus]

On peut aussi utiliser le critère de sylvester :

http://jf.burnol.free.fr/agregformesquadratiques.pdf

[invite0e7e2b76]

s'il vous plait y'a t-il une relation entre les valeurs propres d'une matrice et celles de sa transposée????
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Elles ont mêmes valeurs propres (les polynômes caractéristiques sont les mêmes)

[invite9dc7b526]

s'il vous plait y'a t-il une relation entre les valeurs propres d'une matrice et celles de sa transposée????

oui, même que ça serait plus ou moins les mêmes, surtout pour les matrices symétriques.

[invite0e7e2b76]

oui et pour les valeurs propres de A et de A^2 ?? est ce qu'on peut dire que si alfa et valeur propre de A alors alfa^2 est valeur propre de A^2 avec A une matrice symetrique
merci

[invite9dc7b526]

A^2 est la matrice de fof si f est une application linéaire qui a A pour matrice dans une certaine base.

[invite0e7e2b76]

oui mais quoi dire sur les valeurs propres??

[invite23cdddab]

Si x est un vecteur propre de A associé à la valeur propre c, alors Ax= cx

Et alors A²x = A(Ax) = A(cx) = c.Ax = c.c.x = c²x et donc c² est valeur propre de x pour la matrice A².


Mais tu devrais vraiment essayer de faire ce genre d'exo par toi même, c'est relativement basique et formateur comme exercice.

[invite0e7e2b76]

oui bien sur, merci beaucoup