Questions sur conséquences convergence uniforme

[invitec85befb9]

Salut à tous,

Alors voilà je suis confronté à un exercice qui concerne la convergence uniforme d'une série. Le problème est que je n'ai pas eu de cours ni sur la convergence uniforme ni normale. J'ai donc utilisé des théorèmes que j'ai trouvé sur le net pour avancer un peu. Je suis ainsi arrivé vers la fin du sujet dont les questions sont les suivantes :

On pose pour n et :



II.12. Justifier la convergence normale sur de la série de fonctions . En déduire la limite de lorsque n tend vers +l'infini où

II.13. Démontrer que :



II.14. En déduire la limite de en

Pour information :



J'ai également montré que avec

J'ai précédemment montré que F(1)=ln(2) et ( je n'en suis pas sûr ) :


Pour la question II.12 j'ai écrit ceci : et comme la série de terme général converge (série de riemann à la puissance 2>1) alors converge normalement sur l'intervalle considéré. Elle converge donc uniformément et de ce fait tend vers 0

Cela me semble un peu ( beaucoup ) tiré par les cheveux


Pour la II.13. je sèche totalement

Pour la dernière question j'imagine qu'il s'agit d'utiliser le théorème des gendarmes ?

C'est assez gros comme question mais le fait est que je ne sais répondre aux questions traitant de la convergence uniforme et normale. D'ailleurs si vous aviez des méthodes pour établir la convergence ou la non convergence uniforme et normale des séries de fonctions je suis preneur.

En vous remerciant.
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[invite57a1e779]

Pour II.12, c'est exactement ce qu'il faut faire.

Pour II.13, il suffit d'écrire ζ(x)-1 en séparant la somme partielle et le reste, et de majorer en valeur absolue.

[invitec85befb9]

Ah mais oui. Je n'ai pas été très futé pour le coup.

Merci pour votre réponse.

Plus généralement: si je comprends bien, pour établir la convergence uniforme, il suffit de montrer que la série converge normalement et pour ça il faut en quelques sortes utiliser le critère de comparaison ( utilisé initialement pour la convergence simple ) en trouvant un majorant indépendant de x. Y a-t-il une autre méthode pour étudier la convergence normale ?

Dans le même temps, si une série de fonctions ne converge pas normalement, comment savoir si elle converge uniformément

Enfin quel est le rapport entre la classe d'une fonction et la convergence uniforme de la séries de fonctions qui lui est associée ?

En vous remerciant encore.

[invite57a1e779]

Y a-t-il une autre méthode pour étudier la convergence normale ?

Dans les cas difficiles, étudier à la main le maximum exact de la valeur absolue du terme général.

si une série de fonctions ne converge pas normalement, comment savoir si elle converge uniformément

En majorant directement le reste indépendamment de la variable. Cela se pratique pour des séries alternées sympathiques.

Enfin quel est le rapport entre la classe d'une fonction et la convergence uniforme de la séries de fonctions qui lui est associée ?

Aucun.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Dante995.

Pourquoi ne pas étudier un vrai cours sur les séries de fonctions ? Car finalement, ce qui te manque c'est la succession des résultats classiques. Aller chercher quelques idées ponctuelles ne remplace pas une vraie formation. Sauf erreur de ma part, tous les bons livres de prépa/L1L2 traitent de ce sujet.

Cordialement.

[invitec85befb9]

Aucun.

Merci pour votre réponse. J'ai demandé cela car dans le sujet en question, l'on me demandait de montrer que la fonction zeta est de classe C1. Alors je me suis dit qu'il suffit de dire que c'est une somme de fonctions de classe C infini, mais j'ai vu dans certaines études de la fonctions zeta (x) qu'on utilisait la notion de convergence uniforme. Peut-être mon interprétation n'est-elle pas correcte.

En vous remerciant.

[invite57a1e779]

Pour prouver que est de classe C¹, une condition suffisante est la convergence uniforme de .

[gg0]

Bonjour.

A priori, la somme d'une série de fonctions C-infini n'a pas de raison d'être continue (*). Il y a bien dans ton cas à utiliser un théorème classique, qui permet de dire des choses sur la somme. C'est bien pour cela qu'étudier un cours n'est pas de trop (tu es comme un sportif jouant à un jeu dont il ne connaît pas les règles). Tu ne vas quand même pas deviner sur des exercices ce qui est dans tout cours sur le sujet.

Cordialement.

(*) par exemple la série de terme général x^(n+1)-x^n pour x dans [0;1] a une somme discontinue

[invitec85befb9]

Merci pour vos réponses.

gg0 tu a raison, je vais faire ça. En effet il y a trop de notions qui s'entrecoupent ( dérivabilité, continuité...) pour que je puisse m'en sortir sans cours.

[gg0]

Et n'hésite pas à venir poser des questions si tu butes dans le cours

[invitec85befb9]

Justement j'en ai une : Je ne me trompe pas si je dis que pour une série de fonctions constantes ( ne dépendant pas de x ) la convergence simple implique la convergence uniforme ?

J'ai résonné de cette manière : la convergence uniforme se différencie de la convergence simple en ce que le rang N pour lequel la série se rapproche de la fonction limite ( suivant un écart epsilon ) ne dépend plus de x.

Or pour une série de fonctions constantes, même pour la convergence simple, ce rang N ne dépend plus de x.

Ce qui fait que pour ce type de séries : convergence uniforme <=> convergence simple

[gg0]

Oui, bof !!

On s'intéresse rarement aux séries ou suites de fonctions constantes. une fois qu'on a vu si la série numérique converge ou pas, on n'a rien à dire à part qu'on obtient une fonction constante. Et les fonctions constantes ...
Les cas particuliers trop particuliers sont peu éclairants

Mais en tout cas, une fois que tu auras étudié le cours, tu pourras justifier cela avec la définition précise. A titre d'exercice.

Cordialement.

[invitec85befb9]

J'ai justement lu le cours et j'ai eu cette réflexion lorsque je regardais comment l'on a montré que que la séries de fonctions est uniformément convergente sans être normalement convergente.

Mais comment montrez-vous que la limite uniforme est de classe C1 si converge uniformément ? Est-ce que l'utilisation de cette propriété suppose que la série de fonctions converge uniformément

[gg0]

Tu as vraiment comme exemple de série de fonctions ? Ou tu mélanges avec un cours sur les séries numériques où on montre que la série simple de terme général est convergente, mais pas absolument convergente ?

Pour les théorèmes sur la convergence des dérivées, voir le cours sur les séries de fonctions. Tu montreras des éléments sur la limite uniforme en appliquant les théorèmes correspondants. Quand tu les connaîtras.

[invitec85befb9]

J'ai beaucoup de lacunes pour ce qui est de la convergence uniforme et normale, mais je sais encore lire et sur le cours que j'ai commencé à travailler à 14h30 environ, il est marqué que la convergence uniforme conserve de la suite de fonctions ( ou de la série ).

J'ai essayé de revenir sur la question II.2 du sujet ( image ci-dessous ). Mon problème est le suivant : une fonction de classe C1 lorsqu'elle est dérivable une fois ( au moins ) et que sa dérivée première est continue. Le problème c'est comment avancer sachant que je ne sais pas si la série de fonctions est uniformément convergente, cette question est posée bien après dans le sujet ( se reporter à mon premier message. Donc comment m'en sortir dans cette question ?

[gg0]

J'ai pourtant l'impression que tu as tout ce qu'il te faut pour :
* démontrer que la série est normalement convergente (ce qui assure la convergence uniforme).
* en déduire qu'elle est dérivable et que sa dérivée s'obtient en dérivant terme à terme
* démontrer que la série dérivée est continue.

Je n'ai pas les théorèmes sous les yeux, et je ne les ai pas utilisés depuis plus de 20 ans, mais c'est du très classique sur ce chapitre.

Cordialement.

Nb : Tu n'as pas répondu à propos de .

[invitec85befb9]

Non non c'est bien dans le chapitre sur la convergence normale et uniforme que la série alternée que j'ai évoqué est abordée.

Pour ce qui est de montrer que la fonction est de classe C1 : j'ai pu trouver un théorème (manquant dans le cours que j'ai téléchargé) et qui dit :

1. S'il existe un x0 tel que la série des fn(x0) converge
2. Si les fn sont dérivables et que la série des fn' est uniformément convergente.

Alors la série des fn est uniformément convergente et la fonction limite est dérivable de dérivée égale à la limite uniforme de la série des dérivées.