limite sup et limite inf

[Asmamath]

Bonjour, J'ai une proposition au quelle j'ai fait une démonstration que je vais partager avec vous, et j'aimerais que vous me donnez votre avis

la proposition dit : pour une fonction f:: X dans R la limite sup en un point x_0, b est caractérisée par les propriétés suivantes:
Il existe une suite (x_n) qui converge vers x_0 tq limf(x_n) = b
et pour toute suite (x_n) convergente vers x_0 et satisfait {f(x_n)} converge on a lim f(x_n) <= b

voilà moi j'ai démontré la 1 ere partie:
on a b = lim sup f(x) (avec x tend vers x_0)

= lim[ sup{f(x): x dans B(x_0, delta)}] (ceci par definition de lim sup avec delta décroit vers 0)
= lim[ sup{f(x): x dans B(x_0, 1/n)}] (quand n tend vers + infini)
donc pour (x_n ) dans B(x_0,1/n) on a bien x_n tend vers x_0 c-à-d que
b= lim[ sup{f(x_n): x_n dans B(x_0, 1/n)}] (quand n tend vers + infini)
donc à un certain rang on va avoir que sup f(x_n) = f(x_n) (un certain f(x_n)) D'ou b=limf(x_n)

Merci de me donner vos remarques
-----

[God's Breath]

b = lim[ sup{f(x): x dans B(x_0, 1/n)}] (quand n tend vers + infini)
b= lim[ sup{f(x_n): x_n dans B(x_0, 1/n)}] (quand n tend vers + infini)

Il n'y a aucune différence (autre que la notation) entre ces deux écritures.

à un certain rang on va avoir que sup f(x_n) = f(x_n) (un certain f(x_n))

Rien dans les données, très vagues par ailleurs (*), ne permet de savoir que le sup est atteint.

(*) qui est X ? qui est x_0 ? etc.

[Asmamath]

X un espace de Banach, x_0 un point de X;
Comment faire alors??? j'ai aucune idée
Merci

[God's Breath]

Il faut construire x_n dans B(x₀,1/n) tel que f(x_n) ne soit pas très différent de sup{f(x) ; x dans B(x₀,1/n) }.

Le "pas très différent" devant être formalisé mathématiquement avec des quantificateurs et des epsilon...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Asmamath]

j'arrive pas à constuire le (x_n) comme vous m'avez demander en fait on a

b=lim[sup{f(x):: x dans B(x_0, 1/n)}] ( limite qg n tend vers +infini) ceci veut dire par définition que

pour tout epsilon>0 il existe A>0 tq pour tout x dans B(x_0, 1//n) on |sup f(x) - b| < epsilon pour x>A

mais je sais pas quoi faire aprés???

[God's Breath]

On reprend tout avec de bonnes notations.



Il suffit de prouver :



Il n'y a pas de limite, juste une question d'existence de en manipulant correctement la notion de borne supérieure.

[Asmamath]

Oui vous avez raison, mais je ne sais pas comment commencer prière de me guider
Merci