Convergence des suites de fonctions

[invite9baef2b4]

Bonjour,

Est-ce que la limite simple ou uniforme d'une suite de fonction conserve les propriétés de la suite de fonction, par exemple la continuité, bornitude, monotonie... Si je me trompe pas cela est équivaut a se questionner si l'ensemble des fonctions continues,bornées,monotones est fermé?

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

La convergence simple des fonctions ne conserve pas grand chose. L'exemple des fonctions x--x^n sur [0;1] montre que la continuité n'est pas conservée. Bien évidemment, on conservera le signe, mais pas grand chose d'autre.
Pour avoir des propriétés utiles, la convergence uniforme (ou seulement normale pour les séries) est bien pratique. On trouve ça dans tout cours de L1/L2 sur la question. je ne peux que te conseiller d'en étudier un.

Cordialement.