Le mystère des nombres irrationnels

[Dynamix]

On ne se gène pas pour le faire en utilisant des structures mathématiques de plus en plus élaborées.

Poussé par les besoins de la physique , sans doutes .
Sans elle , on serait restés aux nombre rationnels plus que suffisant pour compter les chèvres .
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[Médiat]

Vous avez raison (pour les deux points ), pour le deuxième, la conception des mathématiques (leurs épistémologies) ont beaucoup évolués au XIX^ième siècle.

Mais j'insiste : si vous voulez tracer une ligne, vous ne le ferez pas avec une pointe infiniment fine ; soit vous faites, soit vous conceptualisez, mais le contrefactuel ne vous mènera pas bien loin (ou alors dans la mauvaise direction).

Je suis toujours à deux doigts de l'éclat de rire quand j'entends parler de "nombres imaginaires" comme s'il pouvait en être autrement (je viens encore de m'aliéner les platoniciens, mais au moins, pour eux, ils ne le sont pas plus que les autres (alors que pour moi (et les formalistes) ils ne le sont pas moins))

[gg0]

Ame_curieuse,

ce qui me fait refroidir ton enthousiasme, c'est que tu prends les mots des mathématiques pour des mots courants. Tu le montre bien quand tu dis : "Je ne sais pas, mais peut être que ceux qui les ont découverts y ont trouvé quelque chose d'irrationnel dedans (au sens littéraire et non métaphysique du terme) : dans le sens où ils échappaient à une approche dichotomique des nombres".

le nom "irrationnel" est récent, et simplement mis par opposition à nombre rationnel (fractions de nombres entiers). le mot rationnel lui-même n'a rien à voir avec la rationalité mais avec "ratio", rapport. Donc les irrationnels n'ont rien à voir avec l'irrationalité au sens courant, mais simplement ce ne sont pas des rapports d'entiers. De même que les nombres imaginaires purs n'ont rien d'imaginaire, en tout cas pas plus que les autres nombres.

Donc quand quelqu'un vient baratiner sur le caractère exceptionnel des irrationnels, je suis plutôt en retrait, moi qui vois beaucoup de beauté en mathématiques. De la beauté, pas du mystère au sens journalistique. Du mystère, dans les conjectures simples ou très compliquées qu'on ne sait pas prouver. Du plaisir intellectuel dans certaines démonstrations, en particulier d'irrationalité (de e, par exemple) ou de transcendance. Car tu n'est pas encore allé voir que la plupart des nombres sont transcendants. Encore un mot qui a pris un sens spécifique (= pas racine d'une équation algébrique à coefficient entier); racine de 2 n'est pas transcendant (on dit qu'il est algébrique), pi et e sont transcendants.

Pour le rapport entre le côté du carré et sa diagonale, on a une réponse satisfaisante depuis au moins 2300 ans. Celle des éléments d'Euclide. C'est bizarre que tu poses cette question sans évaluer ce rapport, très simple. Depuis 2300 ans on a une réponse simple : le rapport est un incommensurable. Point.

Pour la quadrature du cercle, on a une réponse depuis le dix-neuvième siècle : la construction, à partir d'un carré donné par ses sommets, "à la règle et au compas" d'un cercle de même aire n'est pas possible. La preuve repose sur le fait que Pi est transcendant, alors que les dimensions constructibles "à la règle et au compas" sont des multiples du côté du carré par des rationnels ou certains irrationnels (même pas tous !!).

Cordialement.

[Paradigm]

Bonjour stefjm,

Ne faut-il pas partir de quelque chose pour abstraire?

Si, d'un concept abstrait que l'on a concrétisé (chosifié pour la physique) par habitude -

Cordialement,

[Médiat]

Bonsoir,

Poussé par les besoins de la physique , sans doutes .
Sans elle , on serait restés aux nombre rationnels plus que suffisant pour compter les chèvres .

Et encore, une demi-chèvre cela n'existe pas : si on coupe une chèvre en deux, elle perd son essence (Euclide avait pris un homme comme exemple)

[invite224cf7f5]

Je suis toujours à deux doigts de l'éclat de rire quand j'entends parler de "nombres imaginaires" comme s'il pouvait en être autrement (je viens encore de m'aliéner les platoniciens, mais au moins, pour eux, ils ne le sont pas plus que les autres (alors que pour moi (et les formalistes) ils ne le sont pas moins))

Tout à fait. Personnellement, ce terme "imaginaire", ou "complexe", m'a véritablement bloquée dans un premier temps. Inconsciemment, j'ai cru que cela devait être très difficile à comprendre (compliqué). De plus, tous les nombres sont "imaginaires" dans le sens où c'est une sorte d'invention de l'Homme. Mais après, quand j'ai lu l'histoire des nombres complexes, j'ai compris pourquoi on a donné ce nom "d'imaginaire". Et de là, tout est devenu plus clair. Et j'irais plus loin : le fait qu'on a choisi le mot "imaginaire", ça en dit long sur les difficultés qu'on a eues à dépasser certains concepts auxquels il ne fallait pas toucher ! Et puis on a "imaginé" qu'on pouvait y toucher, et cela nous a ouvert la vue sur un ensemble encore plus grand, et plus réaliste que ne le permettaient les nombres réels. "imaginaire", rend hommage au premier pas qu'on a eu à faire pour découvrir les nombres complexes (ou lateral numbers comme les nommeraient Gauss) : imaginer que racine carrée de (-1) est possible.

[gg0]

Un rappel : "complexe" ne veut pas dire "compliqué", mais "fait de plusieurs parties" (complexe pétrolier). Les nombres complexes ont des écritures avec plusieurs réels.

La dénomination "imaginaire pur" reste pour les nombres de partie réelle nulle. je ne connais pas d'autre dénomination. Pire : la "partie imaginaire" est un réel ! oublions vite le sens premier des mots !!

Cordialement.

[Médiat]

Je vous en rajoute une couche : au XIII^ième siècle Fibonacci acceptait volontiers les nombres négatifs dans les calculs, mais pas dans les résultats (qui dans ce cas étaient déclarés inacceptables)

[Dynamix]

imaginer que racine carrée de (-1) est possible.

Le terme possible n' a pas de sens en maths

[invite224cf7f5]

Oui, je le sais. Je ne confonds pas.

Mais ce que je voulais dire c'est que ces qualificatifs subjectifs, s'ils ont été choisis dans le temps, c'est pour une raison ! Et l'Histoire des mathématiques nous le dit : ces nombres n'ont pas été acceptés facilement ! Irrationnels, imaginaires, et même les négatifs. J'ai lu quelque part que même Euler avait du mal avec le signe négatif.

Un peu comme si les mathématiques allaient plus vite que ne pouvait suivre la pensée humaine : on découvre des chose, on ne les comprends pas, on les accepte, après on démystifie et on y voit plus clair

[invite224cf7f5]

Le terme possible n' a pas de sens en maths

J'allais écrire "existe" et j'ai pensé qu'il y aurait quelqu'un pour me dire que le mot "existe" n'existe pas en science

[invite224cf7f5]

Vous avez raison (pour les deux points ), pour le deuxième, la conception des mathématiques (leurs épistémologies) ont beaucoup évolués au XIX^ième siècle.

Qu'est ce que les mathématiciens ont du surmonter pour évoluer au 19e siècle, et ne plus butter sur ce que leurs confrères du 18e siècle trouvaient difficile à admettre? Qu'est ce qui a changé dans leur approche?

[Médiat]

La conception axiomatique des mathématiques, en particulier avec les géométries non-euclidienne et l'apothéose avec Grassmann, Peano et Zermelo, puis Fraenkel

[invite47ecce17]

Bonjour,

C'est exactement le sujet de ma question : et aujourd'hui, y a-t-il une réponse satisfaisante à cela ? Au fait que le rapport entre le coté et la diagonale (ou le diamètre et le périmètre) ne peut être rationnel?

Je ne comprend pas la question. La réponse a bien été donnée par les grecs et tiens en quelques lignes, il n'y a pas de solution entières non triviales à 2x²=y² pour des raisons d'unicité de décomposition en facteurs premiers (l'exposant de 2 dans la décomposition de y devrait etre pair car c'est un carré et impair, car c'est 2 fois un carré, c'est impossible). Si ca c'est pas satisfaisant comme réponse, alors je vois pas ce que c'est.

Sinon... La quadrature du cercle a été résolue????

Oui, on sait qu'elle est impossible.

[invite82078308]

(...)
Sinon... La quadrature du cercle a été résolue???? (...)

Ben en fait, il a été démontré qu'elle ne pouvait être résolue.
Précisons de quoi il s'agit, je crois que ce n'est pas inutile:
Il s'agissait de trouver une méthode, n'utilisant que la règle et le compas, permettant de construire un segment de longueur pi à partir d'un segment de longueur 1 .
La démonstration de la transcendance de pi a montré le caractère désespéré de cette quête, puisqu'on ne peut construire ainsi que des nombres algébriques (et encore pas tous; voir duplication du cube et trisection de l'angle).
Je vous laisse trouver des sources, après ces indications.

P.S. : Archimède avait conçu une méthode d'approximation de pi.

[Médiat]

Par exemple la page 90 du document cité plus haut ...