singularité complexe

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide sur un petit exo d'analyse complexe. On me demande de trouver les points singuliers de la fonction :


bon on trouve assez évidement que l'on a des singularités pour . Apres c'est la où j'ai un petit soucis, comment expliquer rigoureusement que pour on a une singularité effaçable ? j'avais penser a développer ma fonction en série de Laurent :
donc en factorisant le z : ce qui fait que pour on a bien un "prolongement" où la fonction vaut 1, donc la singularité est effaçable. Sauf que ca me parait lourd, pas terrible et surtout pas rigoureux parce que je me retrouve avec une serie "bizarre" au dénominateur donc bon... une vraie série de Laurent sans terme négatif aurait été mieux, si quelqu'un pouvait m'expliquer comment faire ?

Et pour toutes les autres singularités là c'est choux blanc ! Donc quelques petites explications seraient les bienvenus, voila, voila... Merci d'avance pour vos réponses !
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[invite74368e08]

Bonjour ce que tu veux dire par "singularité effaçable" c'est prolonger ta fonction par continuité ?
Dans ce cas là tu fais un petit DL du sin (x-x^2/2+P) et tu vois que c'est bien défini

[theophrastusbombastus]

En fait en analyse complexe (oui j'aurais du préciser) on entend par "singularités effaçables" d'une fonction holomorphe les points tel que sur le disque épointé "en " la fonction, développable en serie de Laurent, ne contienne aucun termes d'indice negatif... en gros !

Donc ça correspond en général a un point où la fonction est prolongeable par continuité et effectivement une maniére intuitive de le voir est ce que vous proposer avec un DL... Mais j'ai peur qu'en complexe le DL a l'ordre "2" soit un tantinet trop "ledge" pour justifier une singularité effaçable, enfin je sais pas ?

(Et le dl de sin c'est pas plutôt ?)

[invite74368e08]

Oui tout à fait pour le DL je me suis trompé et c'est un factorielle de 3 sous le x^3

Mais sinon je ne connais pas ce dont tu m'as parlé x) je suis du niveau maths spé pour le moment !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous .

Le mieux c'est d'utiliser la 4iièm condition de Reimmann :



Cordialement

[theophrastusbombastus]

donc il faudrait ecrire :
et apres j'aurais bien envie de simplifier mon sinus en disjoignant deux cas :

si n est pair:


si n est impair


donc

soit mais bon... c'est pas tres inspirant tout ca non ?

[invite7c2548ec]

Bonjour .



Cordialement

[theophrastusbombastus]

ahh oui pour la singularité en 0 on est d'accord, mais on se sert d'une propriété () que j'aurais voulus démontrer en complexe justement...

Et pour les autres singularités ?
(merci de vos réponses et du temps que vous m'accordez)

[gg0]

Bonjour.

Suivant les définitions de sin(z), la limite de en 0 est évidente ou pas tout à fait. Avec la définition de sin(z) par les séries, c'est immédiat. La limite de son inverse s'en déduit.

Cordialement.

[theophrastusbombastus]

heinnn j'avais pas pense a prendre l'inverse en effet... oui effectivement comme ca la limite en 0 est assez "evidente" !
merci beaucoup !