Résolution équation trigonométrique

[invitee735ff71]

Bonsoir,

En voulant résoudre un problème géométrique simple (histoire de cercle inscrit dans un carré), j'ai été amené à devoir résoudre l'équation trigonométrique .
Voulant utiliser le calcul formel, j'ai pu aboutir à une solution avec Geogebra très simplement du premier coup.


Cependant, je ne sais pas si certains d'entre vous connaissent SageMath, mais c'est avec ça que j'ai au début voulu résoudre mon problème.
Et pourtant ! Pas moyen d'obtenir de solution symbolique avec SageMath (qui est tout de même une référence en logiciels de mathématiques et dispose de nombreux outils) !
Je me suis aidé du document suivant: http://sagebook.gforge.inria.fr/, chapitre 2.2 (Équations).

Alors, deux questions:

-Même si ce n'est pas le forum le plus adapté, quelqu'un saurait pourquoi SageMath ne trouve pas de solution ?
-D'une manière générale, comment résout-on ce genre d'équation trigonométrique à la main ??

Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonsoir

D'une manière générale, comment résout-on ce genre d'équation trigonométrique à la main ??

En l'écrivant 2sin(x) - cos(x) = 1 et en divisant tout par racine(5) (je vous laisse deviner pourquoi et finir)

Pour Sage je ne l'ai utilisé que pour des calculs de déterminants de matrices 8x8 complexes : très fort !

[gg0]

Bonjour.

Je ne sais rien de Sage.
Il y a deux séries de solutions, à 2 pi près, ton " j'ai pu aboutir à une solution " me paraît douteux. mais peut-être as-tu trouvé les deux solutions entre 0 et 2pi.

A la main, une idée assez simple (*) est de poser t=tan(x/2), puis utiliser les "formules en t". Ce qui suppose que x/2 soit différent de pi/2+kpi, donc que x soit différent de pi + k.2pi. Or il se trouve que ces valeurs sont justement des solutions de l'équation !
Donc une fois ces valeurs mises de côté, on multiplie par 1+t², on trouve une valeur de t, on en déduit une valeur de tan(x), qui donne deux valeurs à 2 pi près, dont une seule est solution. On peut aussi en déduire x/2, défini à pi près puis en déduire x, à 2 pi près; ou combiner ces deux méthodes pour avoir deux expressions différentes de x.

Cordialement.

(*) la méthode de Médiat est nettement plus futée !

[invitee735ff71]

Tout d'abord, merci pour les réponses très rapides.

À propos de la solution, en réalité "l'ordinateur" a abouti à deux solutions*. Et non pas "je", effectivement. En revanche, je ne vois pas pourquoi ce serait douteux. Le jour où les ordis se mettront à renvoyer des résultats "douteux", on aura du souci à se faire, c'est moi qui vous le dit.

Voilà le problème:
Il s'agit en fait de déterminer les dimensions du petit rectangle (dont le sommet appartient au cercle) si l'on sait que ses dimensions sont de rapport 1/2. On peut bien-sûr résoudre ça grâce à Pythagore, mais je veux aussi le faire avec la trigo.

Sinon, pour les formules en tan(x/2), cela me semble être une bonne approche, à vrai dire je ne m'étais pas penché véritablement sur le sujet (pas même plus que pour la solution de Médiat), mais après coup elle est sans-doute judicieuse.
Par contre je ne vois pas bien en quoi diviser par racine(5) est utile (bien qu'il y en ait apparemment dans les solutions), du haut de mon expérience de première S. Un rapport avec ? Et je cherche bien les résultats dans [0;2pi] (tu supposes bien).

Je m'étais jusqu'à maintenant davantage focalisé sur mes problèmes de calcul formel.


(*) Que sont:

pour être précis.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je n'ai pas dit que l'ordinateur était douteux, mais que ta phrase l'était. Et elle l'était puisque tu l'as rectifiée

Pour la méthode de Médiat, il suffit de penser aux fonctions sinusoïdales.0

La solution, sur [0;2pi[ qui n'est pas pi a une expression très simple. ce que tu as obtenu avec l'ordinateur est inutilement compliqué (Maple fait bien mieux).

Cordialement.