Démonstration par récurrence.

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Quelqu'un peut-il m'expliquer ce qu'est une récurrence inverse ? C'est la première fois de ma vie que j'entends parler de cette méthode de démonstration.
Pouvez vous me donner aussi un exemple sympas qui illustre une des applications de ce problèmes en mathématiques ? Quelle est sa différence avec le principe de récurrence que tout le monde apprend depuis le lycée ? et pourquoi il est très moins utilisé en mathématiques. Perso, je n'ai jamais vu utilisé ce principe de démonstration jusqu'à aujourd'hui.

Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonsoir,

Si par récurrence inverse vous pensez à une démonstration où on doit démontrer qu'il existe une suite quelconque, non bornée, , tel que
alors

Le problème à utiliser cette forme, c'est que l'on doit trouver la suite et faire la démonstration pour tous les , dans la récurrence classique, suffit comme initialisation

[invitecbade190]

Bonsoir Médiat :

Merci pour votre réponse.
Pouvez vous svp, me proposer un exemple concret de votre choix, qui illustre l'utilisation de cette méthode appelée : récurrence inverse ? Je n'ai pas encore bien saisi l'idée théoriquement.

Merci d'avance.

[Médiat]

La seule chose que j'ai jamais faite avec la récurrence inverse, c'est de la ramener à une récurrence "normale"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

La méthode de récurrence inverse est - elle la méthode de descente infinie ?
cf : https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...scente_infinie
Merci d'avance.

[Médiat]

Récurrence inverse (qui se ramène à une récurrence) et descente infinie sont très différentes, il faudrait que vous soyez sûr de quoi vous parlez !

[invitecbade190]

Je parle de celle qui se trouve ici : http://www.bibmath.net/dico/index.ph...ecurrence.html et s'appelle récurrence descendante.
C'est donc, pas une descente infinie.

[Médiat]

Super ce lien (), on y parle de "récurrence double" qui n'est jamais qu'une récurrence "normale" et de "récurrence descendante" qui n'est pas une récurrence !

[invitecbade190]

Salut Médiat :

J'aimerais savoir s'il est possible d'affirmer que : : est vraie si la pseudo-récurrence suivante est vérifiée :
- , est vraie.
- .

Merci d'avance.

[Médiat]

Bonjour;

On peut "voir" qu'à part pour n = 1 on a une récurrence normale.

Pour le démontrer, il suffit de poser et faire une récurrence standard sur .

[invitecbade190]

Salut Médiat :

Oui, mais dans ce cas là, c'est : : qui est vraie, et non : : , non ?

Merci d'avance.

[Médiat]

Mais c'est quoi ?

[invitecbade190]

Ah oui, c'est vraie : .
Merci.

[invitecbade190]

Médiat :

et une récurrence modulo un entier, ça existe ?
Je m'explique :
Par exemple modulo , on a :
-
-
ou un truc qui ressemble à ça ...
est ce possible ?

Merci d'avance

[Médiat]

Vous avez dû vous mélanger les pieds dans les indices.

Sinon c'est une récurrence normale pour une formule facile à trouver.

[invitecbade190]

Médiat :

Je pense que c'est comme ça :
Par exemple modulo , on a :
-
-
non ?
Mais, j'ai du mal à deviner la bonne formule. Peux être que c'est : , mais : qui n'est pas égale à : , non ?

[invitecbade190]

Ah d'accord :
.
Merci.

edit : ce genre de récurrence sont important pour établir certains résultats arithmétiques plus au moins compliqué.

[Médiat]

Ce serait plus cohérent comme ça :


-
-


En posant :

Et ce n'est qu'une récurrence standard.

[invitecbade190]

Non, dans mon esprit, je fais référence aux objets : , et donc ,je voulais dire que on peut reconnaitre en connaissant : , bien sûr .... modulo . On peut même imaginer une récurrence muni d'une structure de groupe, puisque, cela permettra mème de reconnaitre n’importe quel élément : en connaissant : , bien sûr .... modulo , puisque a une structure de groupe.